Trinome faktoriesieren

Hallo Leute!

Wie faktorisiere ich einen Term wie 7x² + 9x + 4.

Ich habe hier eine Reihe Aufgaben und da stehen Quadratische Gleichungen/Trinome, die man faktorisieren soll, sodass dann (x + irgendwas)(x + irgendwas) da steht, oder halt minus, je nachdem...

Frage: Geht sowas nur bei bestimmten quadr. Gleichungen?

Es gibt da ja diese Regel, dass man zwei Zahlen suchen soll, die multipliziert a ergeben (also 7) und dann zwei weitere, die multipliziert c ergeben (also 4)... aber gilt das für alle solche Ausdrücke?

Wie lautet denn ganz allgemein die Regel für sowas, falls es da eine gibt?

Hallo!

Danke erstmal!!

Aber ich möchte ohne diesen Zwischenschritt auf das Ergebnis kommen. Also ohne die Gleichung lösen zu müssen.

Und wenn ich die Gleichung löse, dann habe ich ja die Nullstellen bereits. Dann bringt mit die faktorisierte Form eh nichts mehr.

Okay, danke, das hilft mir schon mal mehr.

ABer was ich nicht verstehe: Um die Linearfaktoren zu erhalten, brauche ich die Nulstellen. Und die Linearfaktorzerlegung hilft mir dann, die Nullstellen besser ablesen zu können. Das kapiere ich nicht...

Zitat von Unregistriert

ABer was ich nicht verstehe: Um die Linearfaktoren zu erhalten, brauche ich die Nulstellen. Und die Linearfaktorzerlegung hilft mir dann, die Nullstellen besser ablesen zu können. Das kapiere ich nicht...

Allgemein brauchst du die Nullstellen für die Linearfaktoren.

In Ausnahmefällen kannst du aber aus der Gleichung über den Satz von Vieta (q=x1∙x2 , p=x1+x2) leicht die Linearfaktoren "erraten", so dass du für die Nullstellen nicht die p-q-Formel (oder a-b-c-Formel) anwenden musst, sondern sie einfach ablesen kannst.

Wenn ein Faktor vor dem x² steht, klammert man den zuerst aus und guckt dann, ob man's einfach zerlegen kann. Das geht manchmal auch mit Brüchen, bei deinem Beispiel aber nicht:
7x² + 9x + 4 = 7∙(x² + 9/7 x + 4/7) → [TEX]\frac{4}{7} = 4 \cdot \frac{1}{7} = 2 \cdot \frac{2}{7} = 1 \cdot \frac{4}{7} ; 1 + \frac{4}{7} = \frac{11}{7}[/TEX]
Hier geht's:
9x² + 15x - 6 = 9∙(x² + 5/3 - 2/3) → [TEX]\frac{-2}{3} = -2 \cdot \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{-1}{3} ; 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}[/TEX]
= 9∙(x + 2)∙(x – 1/3)

Okay, danke!!

Aber wenn ich die Linearfaktordarstellung dann habe, was bringt mir das? Die Nullstellen habe ich ja dann meistens sowieso! Und die pq-Formel ist ja eh immer einfacher als etwaiges komisches faktorisieren...

Einfaches Beispiel: 0 = x² + 7x + 10

Natürlich kannst du jetzt mit der p-q-Formel draufhauen und wirst, wenn du's richtig machst, auch das richtige Ergebnis kriegen.
[TEX]x_{1;2} = -\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 10} = -3,5 \pm \sqrt{2,25}[/TEX]
[TEX]x_1 = -3,5 + 1,5 = -2[/TEX]
[TEX]x_2 = -3,5 - 1,5 = -5[/TEX]

Wenn du aber siehst, dass 10 = 5∙2 und 7 = 5+2 , dann kannst du sofort schreiben:
0 = x² + 7x + 10 = (x + 5)∙(x + 2)
und liest daraus die Nullstellen –5 und –2 ab.

Aaaah, danke Dörrby! Es bietet sich einfach nur manchmal die Linearfaktorschreibung an, weil man sich dann das rechnen erspart... okay, jezz habschs!