Integralrechnung

1. offizieller Beitrag

    Hallo! :)

    Ich habe eine Hausaufgabe aus meinem Mathe gK aufgekriegt und brüte schon seit Tage darüber. Jetzt hoffe ich hier Hilfe zu finden!

    Danke, an alle die sich dafür Zeit nehmen! <3

    Gegeben ist die Funktion f schließt mit f(x) = 2/x^2 + 1, X E R, x≠0

    a) skizzieren Sie den Graphen von f

    b) der Graph von f schließt mit der Geraden mit der Gleichung y = 1 sowie den Senkrechten mit der Gleichung x = 1 und x = 2 ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

    c) Begründen Sie, wieso sich das Flächenstück im Intervall [-1;1] nicht berechnen lässt.

    • Offizieller Beitrag

    Hallo sternenmaedchen!

    Die Aufgabe sollte nicht allzu schwierig sein.

    Leider kann man hier jetzt keine Graphen mehr skizzieren. Ich empfehle dir die Seite "funktion.onlinemathe.de". Dort kannst du deine Funktion eingeben und bekommst den gesuchten Graphen. Es handelt sich hierbei um zwei Hyperbeläste links und rechts der y-Achse, die beide symmetrisch (spiegelsymmetrisch) verlaufen und dazu sich der Geraden y = 1 asymptotisch nähern.

    Um das Flächenstück zu berechnen, benötigst du die Stammfunktion. Du integrierst die Funktion f(x) = (2/x²) + 1 und bekommst F(x) = x - 2/x

    Die Rechnung dazu ist einfach, wenn du die Ausgangsfunktion ein wenig umformst zu f(x) = 2*x(hoch minus 2) +1

    Zur Flächenberechnung setzt du in die Stammfunktion zuerst die obere, dann die untere Grenze ein.

    Das ergibt: F = (2-2/2) -(1-2) = 2-1+1 = 2

    Damit hast du die Fläche zwischen den beiden Grenzlinien berechnet ALLERDINGS bis auf die x-Achse! Du solltest jedoch nur die Fläche bis zur Geraden y=1 berechnen. Folglich musst du die Fläche zwischen y=1 der x-Achse und den beiden Grenzlinien noch abziehen. Das ist aber sehr einfach, denn die Fläche ist ein Quadrat der Größe 1. Damit ist der gesuchte Flächeninhalt 1.

    Die letzte Frage ist auch nicht schwierig zu beantworten, wenn du dir den Graphen anschaust. Da die beiden Hyperbeläste spiegelsymmetrisch verlaufen, ist der Flächeninhalt zwischen x = 1 und der y-Achse ebenso groß wie der Flächeninhalt zwischen x= -1 und der y-Achse. Einmal wird er jedoch positiv und einmal negativ mit demselben Betrag, sodass insgesamt das Ergebnis 0 wird.

    Viel Erfolg!

    • Offizieller Beitrag

    Wenn du , wie unter Aufgabe a) genannt, den Graphen skizzieren sollst, dann brauchst du keine Polstelle zu berechnen, die ist in diesem Fall ohnehin ersichtlich, liegt bei x= 0.

    Es reicht völlig aus, wenn du einige wenige Wertepaare berechnest, um den Verlauf des Graphen zu bestimmen. Dabei kannst du dir die Arbeit erleichtern, indem du nur positive Werte berechnest, denn die beiden Hyperbeläste sind spiegelsymmetrisch. Beispiel: f(x) = (2/x²)+1

    x = 1 --> y = 3

    x = -1 -->y = 3

    x = 0,5 ---> y = 9

    x = -0,5 --->y = 9