Aufstellen von Funktionstermen und Lösen von linearen Gleichungssystemen

Bei der Aufgabe 1) gehst du von der allgemeinen Funktionsgleichung dritten Grades aus:

f(x) = ax³ + bx² +cx +d

Hier sind die Koeffizienten a, b, c und d zu bestimmen.

Der Graph der Funktion verläuft durch den Ursprung, folglich ist P (0/0) ein Punkt der die Funktionsgleichung erfüllt.

I. f(0) = a*0 +b*0 +c*0 +d = 0

Daraus folgt: d = 0

II. Eine Nullstelle liegt bei P1 (6/0) Dieser Punkt erfüllt ebenfalls die Funktionsgleichung:

f(6) = 0

0 = 216a + 36b +6c

III. Der Punkt P2 (3/2,25) erfüllt ebenfalls die Funktionsgleichung:

f(3) = 2,25

2,25 = 27a + 9b +3c

IV. Wenn die Funktion im Ursprung einen Tiefpunkt hat, dann ist die erste Ableitung an dieser Stelle gleich Null.

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f'(0) = 0

Daraus folgt: c = 0

Nun ist das lineare Gleichungssystem zu lösen:

0 = 216a + 36b

2,25 = 27a + 9b

Damit ergibt sich für a = -12 und für b = 72

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet: f(x) = -12x³ + 72x²

Die wesentlichen Eigenschaften sind:

1) Nullstellen bei x1 = 6 und x2 = 0

2) Tiefpunkt (lokales Minimum) x1 = 0 im Ursprung

3) Lokales Maximum bei x3 = 4 ; der Extrempunkt PM (4/384)

4) Der einzige Wendepunkt liegt bei x = 2; WP (2/192)

Die zweite Aufgabe kannst du analog lösen. Du setzt die gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung zweiten Grades ein:

f(x) = ax² +bx +c

I. 2 = 4a -2b +c

II. -2 = a + b +c

III. 3 = 9a +3b +c

Dieses Gleichungssystem ist zu lösen.

Es ergibt sich: a = 0,7666666...

b = -0,566666...

c = - 2,2

Daraus ergibt sichfolgende Funktionsgleichung: f(x) = 0,7666x² - 0,5666x - 2,2

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