Beiträge von Dörrby

    -27 = -24 + 11s |+24
    -3 = 11s


    Allgemein:
    Beide Fehler sind Minus-Fehler, da hilft leider nur volle Konzentration und kleinschrittiges Rechnen. Hier z.B. hast du den Rechenschritt nicht aufgeschrieben und dich vielleicht deswegen verrechnet.

    Vielleicht ist f(x)=-0,5x^2 + 2x oder -0,5x^3 + 2x^2 gemeint.
    Bei vielen Unterrichtsaufgaben kann man gut faktorisieren und dann quasi direkt die Lösung(en) ablesen:
    =-0,5•x•(x-4) oder -0,5•x^2•(x-4) -> Nullstellen 0 und 4
    Entsprechend für Extrema und Wendepunkte ein- bzw. zweimal ableiten und wieder faktorisieren.
    Bei gerader und ungerader vorkommender x- Potenz weder Nullpunkt- noch y-Achsensymmetrisch.

    Die 3. Schale hat s-Orbital (2 Elektronen), p-Orbital (6 Elektronen) und d-Orbital (10 Elektronen). Beim Eisen sind s- und p-Orbital voll, aber das d-Orbital noch nicht. Tatsächlich ist aber die 4. Schale Außenschale.
    Es gibt aber auch 3-wertiges Eisen, da sind 3 Elektronen in der 4. Schale und wohl eins weniger im d-Orbital der 3. Schale.

    So spontan fiel mir ein: gar nicht!
    Die Ablenkung von Licht durch starke Gravitationsfelder (z.B. große Sterne) hat erst Einstein in seiner Relativitätstheorie über die Raumkrümmung durch Massen erklärt.
    Newton geht von einem starren euklidischen (= rechtwinkligen) Raum aus und Gravitation wirkt nur auf Massen. Licht hat aber keine Masse.

    Bei a. und b. geht es um Totalreflexion vom optisch dichteren ins dünnere Medium. Der Grenzwinkel ist hier arcsin(1/1,33) = 48,8° vom Lot zur Seite.


    Bei c. und d. geht es um (Materie-)Dichte (Formel: [TEX]m = \rho \cdot V[/TEX]) und Auftrieb. Die Auftriebskraft ist so groß wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Ist sie größer als die Gewichtskraft des Körpers, dann steigt dieser bzw. schwimmt an der Oberfläche.


    Deine Ideen/Lösungsansätze?

    Zum Einen soll sie dafür sorgen, dass der Schwerpunkt über der Standfläche bleibt, so dass die Lampe nicht kippt, auch wenn sie einen Ausleger hat, der seitlich über die Standfläche hinausragt.


    Zum Anderen soll sie ein möglichst großes Drehmoment zurück erzeugen, falls die Lampe doch einmal kippen sollte.

    Die Temperaturdifferenz von 25 - 6 = 19°C wird (von 25°C aus gerechnet) pro Minute um 16% weniger, d.h. 84% (= Faktor 0,84) der Differenz bleibt noch. Von der neuen Differenz dann wieder 84% usw. , also:
    0 Min.: 25 - 19
    1 Min.: 25 - 19 * 0,84
    2 Min.: 25 - 19 * 0,84 * 0,84 usw.


    Allgemeine Formel (x = Min. , y = °C):
    y = 25 - 19 * 0,84x


    b) y = 23 (bzw. 24,9) einsetzen und Gleichung nach x auflösen:
    23 = 25 - 19 * 0,84x | -25
    -2 = -19 * 0,84x | : (-19)
    2/19 = 0,84x | ln
    ln(2/19) = x * ln(0,84) | : ln(0,84)
    x = ln(2/19) / ln(0,84) = 12,9 Min.

    Über die Seiten a und c berechnest du zunächst die unteren Seiten der Dreiecke.
    Differenz: 78 - 56 = 22 mm
    Weil das Trapez gleichschenklig ist: Auf beiden Seiten 11 mm.


    Dann mit Pythagoras: d² = 50² + 11²
    Noch die Wurzel ziehen und fertig!

    W-keit für Treffer: 70% = 0,7
    W-keit für Fehlschuss: 30% = 0,3


    "Erstmalig im dritten Schuss" heißt: Fehler - Fehler - Treffer
    also nach der Pfadregel: 0,3 . 0,3 . 0,7 = 0,063 = 6,3%


    Für den fünften Schuss entsprechend.

    Weitere Befehle, die ich hier schon mal gebraucht habe:


    Tabellen ("arrays"):
    \left( \begin{array}{lrc} n & a & e \\ n-k & a \cdot b & \frac{1}{2}mv^2 \end{array} \right)


    [TEX]\left( \begin{array}{lrc} 5 & A & E \\ 2+3 & a \cdot b & \frac{1}{2}mv^2 \end{array} \right)[/TEX]


    \left( und \right) macht große angepasste Klammern, geht auch mit [ und ] , für { und } Backslash davor : \{ \}
    {lrc} gibt die Ausrichtung jeder Spalte an (left, right, center). Das muss stehen.
    & springt zur nächsten Spalte der gleichen Zeile , // zur nächsten Zeile in die erste Spalte.


    Das kann man auch für Vektoren oder Binomialkoeffizienten nutzen:
    \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}


    [TEX]\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/TEX]



    \displaystyle
    \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0 : [TEX]\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0[/TEX]
    Ohne \displaystyle : [TEX]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0[/TEX]


    \displaystyle\min_{1 \le i \le k}(a_i) : [TEX]\displaystyle\min_{1 \le i \le k}(a_i)[/TEX]
    Ohne \displaystyle : [TEX]\min_{1 \le i \le k}(a_i)[/TEX]


    \displaystyle\sum_{i=0}^{n} x^i : [TEX]\displaystyle\sum_{i=0}^{n} x^i[/TEX]
    Ohne \displaystyle : [TEX]\sum_{i=0}^{n} x^i[/TEX]


    \displaystyle\int_1^3 x^2 \ dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 \right]_1^3 : [TEX]\displaystyle\int_1^3 x^2 \ dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 \right]_1^3[/TEX]
    Ohne \displaystyle : [TEX]\int_1^3 x^2 \ dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_1^3[/TEX]


    \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} : [TEX]\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/TEX]
    Ohne d (kurz für displaystyle) : [TEX]\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/TEX]



    Einzelne Zeichen
    \pm : [TEX]\pm[/TEX]
    \mp : [TEX]\mp[/TEX]
    \le : [TEX]\le[/TEX]
    \ge : [TEX]\ge[/TEX]
    \ne : [TEX]\ne[/TEX]
    \sim : [TEX]\sim[/TEX]
    \approx : [TEX]\approx[/TEX]
    \equiv : [TEX]\equiv[/TEX]
    \infty : [TEX]\infty[/TEX]
    \leftarrow , \Leftarrow : [TEX]\leftarrow , \Leftarrow[/TEX]
    \rightarrow , \Rightarrow : [TEX]\rightarrow , \Rightarrow[/TEX]
    \leftrightarrow , \Leftrightarrow : [TEX]\leftrightarrow , \Leftrightarrow[/TEX]

    Eine Funktion 4. Grades hat die allgemeine Gleichung
    f(x) = ax4 + bx3 + cx² + dx + e
    Folglich sind:
    f'(x) = 4ax3 + 3bx² + 2cx + d
    f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c


    An einem Sattelpunkt sind f' und f'' gleich 0, d.h.
    f(0) = -1 -> e = -1
    f'(0) = 0 -> d = 0
    f''(0) = 0 -> c = 0


    An einem Extrempunkt ist f' gleich 0, d.h.
    f(3) = -14,5 = 81a + 27b - 1
    f'(3) = 0 = 108a + 27b -> b = -4a
    Einsetzen in f(3) ergibt a = 0,5


    Also: f(x) = 0,5 x4 - 2 x3 - 1

    Falls du noch die Nullstellen bestimmen sollst:
    "... berührt die x-Achse an der Stelle x=4 ... " bedeutet auch: Hier liegt eine doppelte Nullstelle vor, d.h. Faktor (x - 4)² .
    Für die dritte Nullstelle teilst du die Funktionsgleichung durch diesen Faktor (Polynomdivision), also:
    (3/16 x³ - 9/8 x² + 0 x + 6) : (x² - 8 x + 16) = 3/16 x + 3/8 = 3/16 (x + 2) -> Nullstelle x=-2

    Die Aufgabe brachte mich auf die Idee, mal einige Kombinatorik-Formeln (Anzahl der Möglichkeiten) zusammenzustellen. Dabei wird öfter der Binomialkoeffizient "n über k"
    [TEX] \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array} \right)[/TEX]
    auftreten.


    1. mit Zurücklegen, d.h. die Grundmenge besteht aus k verschiedenen Elementen, die jeweils beliebig oft auftreten können (so wie in der Aufgabe) und es wird z-mal gezogen


    a) Reihenfolge beachten: [TEX]k^z[/TEX]


    b) Reihenfolge egal (so wie in der Aufgabe): [TEX] \left( \begin{array}{c} z+k-1 \\ k-1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} z+k-1 \\ z \end{array} \right) [/TEX]


    2. ohne Zurücklegen, d.h. die Grundmenge besteht aus einer festen Menge von n Elementen, in der es k verschiedene Elemente gibt (-> k [TEX]\le[/TEX] n). Das Element 1 kommt [TEX]a_1[/TEX]-mal vor, das Element 2 [TEX]a_2[/TEX]-mal, ... und das Element k [TEX]a_k[/TEX]-mal. Da die allgemeine Formel etwas unhandlich ist, notiere ich nur die Sonderfälle.


    2.1. alle Elemente verschieden ( k=n, alle [TEX]a_i[/TEX]=1 )


    a) Reihenfolge beachten: [TEX] \left( \begin{array}{c} k \\ z \end{array} \right) \cdot z! = \frac{k!}{(k-z)!} [/TEX]


    b) Reihenfolge egal: [TEX] \left( \begin{array}{c} k \\ z \end{array} \right) = \frac{k!}{z! \cdot (k-z)!} [/TEX]


    2.2. alle Elemente werden gezogen ( z=n )


    a) Reihenfolge beachten: [TEX] \frac{z!}{a_1 ! \cdot a_2 ! \cdot ... \cdot a_k !} [/TEX]


    b) Reihenfolge egal: 1


    2.3. es wird höchstens so oft gezogen, dass keines der verschiedenen Elemente fehlt ( [TEX]z \le \displaystyle\min_{1 \le i \le k}(a_i)[/TEX] ). Das ist wie "mit Zurücklegen".


    a) Reihenfolge beachten: [TEX]k^z[/TEX]


    b) Reihenfolge egal: [TEX] \left( \begin{array}{c} z+k-1 \\ k-1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} z+k-1 \\ z \end{array} \right) [/TEX]


    2.4. es gibt nur 2 verschiedene Elemente ( k=2, Annahme: [TEX]a_1 \le a_2[/TEX] )


    a) Reihenfolge beachten: [TEX] \displaystyle\sum\limits_{i=\max(0;z-a_2)}^{a_1} \left( \begin{array}{c} z \\ i \end{array} \right) [/TEX]


    b) Reihenfolge egal: min ( min([TEX]a_1[/TEX],[TEX]a_2[/TEX])+1 ; min(z,n-z)+1 )

    Wenn man bei kleinen Anzahlen von Sorten (S) und Flaschen (F) einfach mal die Möglichkeiten zählt, ergibt sich diese Liste (Flaschenzahl nach rechts, Sortenzahl nach unten):


    [TEX] \begin{array}{ccccccc} | \ Fl \ 00 \ 01 \ 02 \ 03 \ 04 \\ So \ | \ - \ - \ - \ - \ - \\ 01 \ | \ 01 \ 01 \ 01 \ 01 \ 01 \\ 02 \ | \ 01 \ 02 \ 03 \ 04 \ 05 \\ 03 \ | \ 01 \ 03 \ 06 \ 10 \ 15 \\ 04 \ | \ 01 \ 04 \ 10 \ 20 \ 35 \\ 05 \ | \ 01 \ 05 \ 15 \ 35 \ 70 \end{array}[/TEX]


    Schräg von links unten nach rechts oben erkennt man die Binomialkoeffizienten eines konstanten n, z.B. 1,4,6,4,1 für n=4 (4 über 0, 4 über 1, ... , 4 über 4). Die Sortenzahl müsste aber, damit die Tabelle symmetrisch wird, um 1 niedriger sein, man muss also mit S-1 arbeiten.
    Bei vorgegebenen Zahlen F und S landet man demnach in der (schrägen) Binomialkoeffizienten-Reihe von F + S-1 (obere Zahl) und die Zeile (Zählung bei 0 angefangen, also S-1) ergibt die untere Zahl, also:


    [TEX] \left( \begin{array}{c} F + S-1 \\ S-1 \end{array} \right)[/TEX]


    Für F=12 und S=3 demnach:


    [TEX] \left( \begin{array}{c} 14 \\ 2 \end{array} \right) = \frac{14 \cdot 13}{1 \cdot 2} = 91[/TEX]

    Beide Fragen: Je enger die (gefahrene) Kurve, desto größer sind bei gleicher Geschwindigkeit die Fliehkräfte (antiproportional zum Kurvenradius).
    Wenn diese Fliehkräfte über der Haftreibung liegen, fliegt das Auto aus der Kurve.
    Das größte Problem: Die Fliehkräfte wachsen mit dem Quadrat der Geschwindigkeit, d.h. doppelte Geschwindigkeit -> vierfache Fliehkräfte