Extremwertprobleme

Die Hauptbedingung findest du mit Hilfe der Oberflächenformel des Zylinders:

O = 2*G + M

G = Grundfläche M = Mantel

[TEX]G =r^2*\pi[/TEX]

[TEX]M = 2*r*\pi*h[/TEX]

Da die Grundfläche aus Stabilitätsgründen verdoppelt werden soll, ergibt sich folgende Hauptbedingung:

[TEX]O = 3*r^2*\pi + 2*r*\pi*h[/TEX]

Nebenbedingung: Das Volumen sei 1000 cm³

[TEX]V = r^2*\pi*h = 1000[/TEX]

Diese Nebenbedingung löst du nach h auf und setzt den Term dann in die Hauptbedingung ein:

[TEX]h = \frac{1000}{r^2*\pi}[/TEX]

[TEX]O = 3r^2\pi + 2*r*\pi * \frac{1000}{r^2*\pi}[/TEX]

Funktion:

[TEX]O = 3r^2\pi+\frac{2000}{r}[/TEX]

Nun die erste Ableitung bilden und sie Null setzen:

[TEX]O' = 6r\pi-\frac{2000}{r^2} = 0[/TEX]

[TEX]6r^3*\pi = 2000[/TEX]

r = 4,73

Bei einem Radius von 4,7 cm ergibt sich eine minimale Oberfläche.

Zu deinen Fragen:

a) Die zweite Ableitung kann man sich in diesem Fall sparen. Wenn du sie unbedingt machen willst, kannst du das natürlich tun. Es ist aber aus der ersten Ableitung offensichtlich, dass die zweite Ableitung für alle Radiuswerte postive Ergebnisse liefert, damit also ein Minimum vorliegen muss.

[TEX]O' = 6r\pi-2000*r^{-2}[/TEX]

[TEX]O'' = 6\pi +2*2000*r^{-3} = 6\pi+\frac{4000}{r^3}[/TEX]

b) Die Hauptbedingung ergibt sich aus der Berechnungsformel für die Oberfläche des Zylinders, wie bereits oben mitgeteilt.

O = 2G + M

Den Mantel muss man mit einbeziehen, weil der Mantel mit zur Oberfläche gehört!

Die Oberfläche des Zylinders setzt sich aus zwei Kreisflächen und einer Rechteckfläche (=Mantel) zusammen.

Wenn aus Stabilitätsgründen die Grundfläche des Zylinders verdoppelt werden soll, dann hat man natürlich 3 Kreisflächen.

[TEX]O = 3*r^2*\pi + 2*r*\pi*h[/TEX]

Das ist die Hauptbedingung.

Nein, die Oberfläche besteht aus ALLEN Flächen, Grundfläche, Deckfläche und Mantel!

Nochmal: Die Oberfläche des Zylinders besteht aus allen Außenflächen: Grundfläche (Kreis) + Mantel (Rechteck) + Deckfläche (Kreis). Bei Säulen sind Grund- und Deckfläche gleich groß.