Extremwertprobleme

1. offizieller Beitrag

    Könntet ihr mir bitte bei dieser AUfgabe auch helfen ???? :)

    Guten Abend,

    hättet ihr auch einen Ratschlag für mich bei folgender Aufgabe:

    Ein zylinderische Konservendose aus Aluminium mit Deckel soll den Inhalt 1000 cm ³ besitzen.Die Bodenfläche soll aus Stabilitätsgründen doppelt genommen werden.

    a) Ermitteln SIe die Haupt-und die Nebenbedingung ,wenn der Materialverbrauch für die Dose möglichst gering sein soll.


    Ich komme einfach NIE darauf wann ich was machen muss und nehme immer die falsche Formel.

    Vielen Dank

    • Offizieller Beitrag

    Die Hauptbedingung findest du mit Hilfe der Oberflächenformel des Zylinders:

    O = 2*G + M

    G = Grundfläche M = Mantel

    [TEX]G =r^2*\pi[/TEX]

    [TEX]M = 2*r*\pi*h[/TEX]

    Da die Grundfläche aus Stabilitätsgründen verdoppelt werden soll, ergibt sich folgende Hauptbedingung:

    [TEX]O = 3*r^2*\pi + 2*r*\pi*h[/TEX]

    Nebenbedingung: Das Volumen sei 1000 cm³

    [TEX]V = r^2*\pi*h = 1000[/TEX]

    Diese Nebenbedingung löst du nach h auf und setzt den Term dann in die Hauptbedingung ein:

    [TEX]h = \frac{1000}{r^2*\pi}[/TEX]

    [TEX]O = 3r^2\pi + 2*r*\pi * \frac{1000}{r^2*\pi}[/TEX]

    Funktion:

    [TEX]O = 3r^2\pi+\frac{2000}{r}[/TEX]

    Nun die erste Ableitung bilden und sie Null setzen:

    [TEX]O' = 6r\pi-\frac{2000}{r^2} = 0[/TEX]

    [TEX]6r^3*\pi = 2000[/TEX]

    r = 4,73

    Bei einem Radius von 4,7 cm ergibt sich eine minimale Oberfläche.

    So.
    Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
    Den Schritt mit der Nebenbedingung kann ich voll und ganz nachvollziehen.

    Den Schluss wie du auf die 4,7 cm kommst auch.Es ist zwar für mich schwer,dass ich 2000 durch pi und 6 nehmen muss und zusätzlich in die dritte Wurzel packen muss,aber muss ich nicht noch die zweite Ableitung bilden um zu kontrollieren ob ich ein relatives Maxmimum habe?

    Und wie kommst du auf die Hauptbedingung?Leider ist mir jenes immer noch nicht schlüssig.
    A O = 2 pi mal r [r+h ]


    wieso muss ich den Mantel noch mit einbeziehen?

    • Offizieller Beitrag

    Zu deinen Fragen:

    a) Die zweite Ableitung kann man sich in diesem Fall sparen. Wenn du sie unbedingt machen willst, kannst du das natürlich tun. Es ist aber aus der ersten Ableitung offensichtlich, dass die zweite Ableitung für alle Radiuswerte postive Ergebnisse liefert, damit also ein Minimum vorliegen muss.

    [TEX]O' = 6r\pi-2000*r^{-2}[/TEX]

    [TEX]O'' = 6\pi +2*2000*r^{-3} = 6\pi+\frac{4000}{r^3}[/TEX]

    b) Die Hauptbedingung ergibt sich aus der Berechnungsformel für die Oberfläche des Zylinders, wie bereits oben mitgeteilt.

    O = 2G + M

    Den Mantel muss man mit einbeziehen, weil der Mantel mit zur Oberfläche gehört!

    Die Oberfläche des Zylinders setzt sich aus zwei Kreisflächen und einer Rechteckfläche (=Mantel) zusammen.

    Wenn aus Stabilitätsgründen die Grundfläche des Zylinders verdoppelt werden soll, dann hat man natürlich 3 Kreisflächen.

    [TEX]O = 3*r^2*\pi + 2*r*\pi*h[/TEX]

    Das ist die Hauptbedingung.