Beiträge von kreisförmig

  • Vollständige Induktion - Textaufgabe

    Hey ich sitze jetzt schon etwas länger vor folgender Textaufgabe,ich hoffe jemand kann mir hier helfen, mir fehlt der Ansatz, worauf ich hier die vollständige Induktion anwenden muss. Danke schonmal im Voraus :smile:

    Herr Lucas berichtet von seiner Reise folgendes Erlebnis:

    In der Stadt Hanoi stehen in einem Brahma-Tempel drei Säulen. Auf einer dieser Säulen liegen 64 Scheiben, die, von oben nach unten gesehen, einen streng monoton wachsenden Durchmesser haben. Die Welt wird in Schutt und Asche fallen, wenn die Mönche die Scheiben der ersten Säule auf eine andere Säule gelegt haben. Dabei darf nie mehr als 1 Scheibe gleichzeitig bewegt und niemals eine größere Scheibe auf eine kleinere gelegt werden.

    Nach einer kurzen Diskussion kommen Sie zu dem Schluss, dass das Umschichten von n Scheiben [TEX]2^n -1[/TEX] Bewegungen benötigt. Herr Lucas ist nicht überzeugt – beweisen Sie es ihm mittels vollständiger Induktion.
    Da die Mönche bereits ihren Weg zum Satori gefunden haben, sind sie in der Lage eine Scheibe innerhalb einer Sekunde umzuschichten.

    Wie lange müssten wir Leben um das Ende der Welt durch die Türme von Hanoi zu erleben?

  • Potenzreihe

    Hi, hab mal eine Frage zu folgender Aufgabe: Für welche Werte von x konvergiert die folgende Reihe?


    [TEX] \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(2x-1)^{4k+1}}{4^{k+1}} [/TEX]

    also erst einmal hab ich ja nicht diese Standardpotenzreihenform im Sinne von [TEX] \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty a_k * (x-x_0)^{k} [/TEX] sondern als Potenz 4k+1 , es gibt ja ein paar Tricks mit Substitution und dann die vereinfachte Reihe lösen könnte ich das hier machen ?

    weil dann hätte ich ja sowas wie: [TEX] \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{4^{k+1}}*y^{k+\frac{1}{4} [/TEX] für [TEX] y = (2x-1)^{4} [/TEX]

    jetzt hätte ich zumindest nur noch ein k+1/4 , aber wie löse ich diese Potenzreihe jetzt, weil ich brauche ja zum erneuten substituieren ein z mit [TEX] z^{k}=y^{k+\frac{1}{4} [/TEX] und das scheint nicht ohne weiteres möglich zu sein ?

    Mfg

  • Taylorpolynome

    Berechnen Sie für die folgenden Funktionen die Taylorpolynome dritten Grades in den vorgegebenen Entwicklungspunkten und schätzen Sie den Fehler auf dem angegebenen Intervall ab.

    a) [TEX]f(x)=\ln(\sin(x))[/TEX] in [TEX]x_0 = \frac{\pi}{2}[/TEX] mit [TEX] x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi*3}{4}] [/TEX]

    b) [TEX]e^{{x^2}-1[/TEX] in [TEX]x_o = 1 [/TEX] mit [TEX] x \in [{0},{2}][/TEX]


    wie würdet ihr da ran gehen?

  • Stetigkeit

    ah ok ich habs jetzt bei 1 ist es ja einfach eine Potenz der stetigen Funktion sinus, die wiederum stetig ist. 2) hab ich auch so und aus 2) folgt dann bei 3) für die Grenzfunktion f(x) = 1 für x=kpi+pi/2 und sonst 0
    das heißt die Funktion ist dann in allen Punkten x=kpi+pi/2 (wobei k eine ganze zahl ist), unstetig und ansonsten stetig. Das heißt die Konvergenz der Funktionenfolge fn ist auch nicht gleichmäßig richtig?

  • Stetigkeit

    Für n Element aus den natürlichen Zahlen N, sei [TEX]f_n[/TEX] :R -> R definiert als [TEX]f_n(x)=\sin^{2n}(x)[/TEX]

    1) Begründen sie warum die Funktion [TEX]f_n[/TEX] für jedes Element n aus N auf R stetig ist

    2) Begründen sie warum für jedes Element x aus R der Grenzwert [TEX]\lim_{n \to \infty} f_n[/TEX] existiert

    3) Untersuchen sie, in welchen Elementen x aus R die Funktion f: R -> R stetig ist


    wie würdet ihr bei der aufgabe hier dran gehen?