Umkehrung des Thalessatzes

  • Beweisen Sie die Umkehrung des Thalessatzes:
    Die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks liegen auf einem Kreis mit der Hypotenuse als Durchmesser.
    Geben sie die Sätze an, die Sie zum Beweis heranziehen!

  • vielleicht etwas umständlich, aber es geht:
    1. auf einem Kreis liegen alle Punkte im Gleichen Abstand zum Mittelpunkt
    mit dem Satz des Pythagoras heißt das:
    r² = x² + y² und als Funktion umgeformt: y = Wurzel(r² - x²)
    der Graph der Funktion beschreibt einen Halbkreis mit dem Mittelpunkt 0


    Nun soll der Halbkreis bei 0 beginnen, also verschiebt man ihn um r/2:
    y = Wurzel(r² - (x-r/2)²)
    das läßt sich umformen zu
    y = Wurzel (2*x*r - x²)


    2. der Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck lautet:
    h² = p*q
    wobei p+q=c, die Hypothenuse ist.
    Also ist Die Höhe als Funktion der Länge (p) der linken Seite der Hypothenuse bis zum Fußpunkt der Höhe:
    h = Wurzel(p*(c-p)) = Wurzel(p*c-p²)
    c ist gleich dem doppelten Radius des Taleskreises (c=2*r)
    demnach:
    h = Wurzel(2*p*r - p²)


    und das entspricht der Gleichung eines Halbkreises (siehe oben)