Punkte und Vektoren im Raum

Die Formel für den Betrag eines dreidimensionalen Vektors [tex]\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
v_1 \\
v_2\\
v_3\\
\end{array}\right)[/tex] ist dir ja sicher bekannt, ist (Gleichung 1) [tex]|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/tex]

Der Vektor hat genau dann die Länge 1, wenn bei Gleichung 1 der Wert eben genau 1 ist.

Angenommen bei dem Vektor [tex]v[/tex] kommst du auf eine Länge [tex]n[/tex] die nicht gleich 1 ist.

[tex]n=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/tex]

Ich möchte nun, dass auf der linken Seite eine 1 steht. Das kann man durch Division durch n erreichen:

[tex]1=\frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}{n}[/tex]

Das kann man auch anders schreiben:

[tex]1=\frac{1}{n}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/tex]

Das [tex]\frac{1}{n} ist ein konstanter Faktor, das kann man also auch quadriert in die Wurzel ziehen:

[tex]=\sqrt{\frac{1}{n^2}(v_1^2+v_2^2+v_3^2)}[/tex]

Die Klammer in der Wurzel kann man noch ausmultiplizieren:
[tex]=\sqrt{\frac{v_1^2}{n^2}+\frac{v_2^2}{n^2}+\frac{v_3^2}{n^2}}[/tex]

Das entspricht aber genau der Betragsformel für einen Vektor, bei dem jedes Element durch den Betrag des ursprünglichen Vektors dividiert wurde.