Rechteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

  • Die Gerade g: y = 6 schneidet von der Parabel x² = 16y ein Segment ab. In dieses Segment ist ein Rechteck so einzuschreiben, dass zwei seiner Eckpunkte auf g liegen. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird?


    Bitte um Hilfe!

  • Hallo,


    mach dir zunächst mal ne Skizze. und zeichne ein Rechteck gemäß Forderung ein, z. B. an der Stelle x=x0.
    a sei die Seite parallel zur x- Achse, b die Seite parallel zur Y-Achse.


    Nun überlege mal, wie die Seiten a und b als Funktionen von x0 berechnet werden können....


    a(x0) =2*xo (Da die Parabel ja symmetrisch ist)
    b(x0)= 6 - f(xo)= 6 - hoch2 /16 (kannst ja die Gleichung x hoch 2 = 16 y nach y auflösen also y= Xhoch2 / 16)


    Dann weißt du, dass die Fläche des Rechtecks gleich dem Produkt aus den Seitenlängen ist, also F(xo) = a(xo) * b(x0)


    Bisher hast du den Spezialfall x=x0 betrachtet.


    Nun verallgemeinerst du deine Überlegung nach x und musst die Seitenlängen a und b allgemein als Funktion von x ausdrücken.
    (also statt a(x0) nur noch a (x) schreiben...



    also hast du als Gleichung für die Fläche:


    Fläche (x) = a(x)*b(x)= 2*x * (6-xhoch2/16) =...


    Davon musst du nun die 1. und 2. Ableitung bilden
    1: Ableitung gleich Null heißt: Tangentenanstieg = Null (Extremwert oder Sattelpunkt)


    2. Ableitung negativ oder positiv (ungleich null) heißt: Maximum/ Minimum (kein Sattelpunkt)


    kleiner Null bedeutet Maximum
    größer Null bedeutet Minimum



    So, hoffe das hilft dir.


    Gruß Niko