Extremwertprobleme

  • Hallo.




    Ich habe Probleme bei zwei Aufgaben zu Extremwertproblemen.


    Die 1. Aufgabe ist:


    Einem Kegel soll ein zweiter Kegel mit möglichst großem Volumen so einbeschrieben werden, dass die Spitze des zweiten Kegels im Mittelpunkt des Grundkreises des ersten Kegels liegt.


    Dem einbeschrieben Kegeld wird noch ein Kegel einbeschrieben. Wie kann ich das Volumen rausbekommen ohne nochmal das ganze Theater aus dem 1. Teil der Aufgabe auszuführen?


    Wie oft muss man das EInbeschreiben eines Kegels durchführen bis der eingeschriebene Kegel ein Volumen hat das kleiner als 1% des Volumens des gegebenen Kegels ist?




    Nachdem ich die Skizze angefertigt hab, hab ich die Extremalfunktion gebildet:


    V(x;y) = Π /3 x²y



    Nebenbedingung:
    h-y/x=h/r (Strahlensätze)



    das nach y auflösen: y=h-h/r*x



    Zielfunktion: Π/3*x²(h-h/r*x)



    Und dann weiß ich nicht wie es weitergeht...:(



    Die 2. Aufgabe ist:



    Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius r. Rollt man einen Kreissektor zusammen, entsteht ein Kegel. Bei welchem Mittelpunktswinkel α des Sektors entsteht ein Kegel mit maximalem Volumen?



    Also meine Ansätze:



    r(kr)=S(K) also der Radius des Kreises ist = der Mantellinie des Kegels
    b(α)=U(K)
    b(α)= Π*r*α/180°
    U=Π*r*α/180°
    V=Π*r²/3 *h
    h=(wurzel aus)s²-r²


    Vielen Dank im voraus.[/list]

  • 1. Folge extremaler Kegel


    Dem Ursprungskegel r, h, V wird einbeschrieben r1, h1, V1 usw. (h - h1) / r1 = h h / r -> h1 = h * (r - r1) / r -> V1(r1) = 1/3 pi r * (r * r1² - r³) * h; V1'(r1) = 0 -> r1 = 2/3 r; h1 = 1/3 h; V1 = 4/27 V. Also Vn = (4/27)^n * V. Vn <= 1/100 V -> n >= lg (4/27) : lg (1/100) = 2,4 -> n = 3. Der dritte einbeschriebene Kegel erfüllt die Forderung V3 < 1/100 V.

  • 2. Aus einem kreisförmigen Stück Papier (r) ist ein Kegel (R, H) maximalen Volumens zu formen (alpha). Dabei wird aus dem ursprünglichen Kreisbogen der Umfang des Grundkreises vom Kegel. V = 1/3 pi R² H; 2 pi R = alpha/360° * 2 pi r; R = alpha/360° * r; H² = r² - R²; H = wurzel [1 - (alpha/360°)²] * r -> V(alpha) = pi/3 * r³ * (alpha/360°)² * wurzel [1 - (alpha/360°)²] ... V'(alpha) = 0 -> alpha = wurzel(2/3) * 360°. Bitte nachrechnen.



    F.