Extremwertaufgaben

1. offizieller Beitrag

    Die Parabeln zu den quadratischen Funktionen f mit f(x)=x2 und g mit g(x)=6-x2 schließen oberhalb der x-Achse ein Flächenstück ein. In dieses Flächenstück werden achsenparallele Rechtecke so gelegt, dass jeweils zwei Eckpunkte auf der gleichen Parabel liegen.

    a) Fertige mit Hilfe der u.g Abbildung eine entsprechende Skizze an und bestimme einen sinnvollen Definitionsbereich

    b) Ermittele rechnerisch, welche Koordinaten die Eckpunkte dieses Rechtecks haben müssen, damit die Flächeninhalt maximal wird?

    • Offizieller Beitrag

    Wenn du eine Skizze der beiden Parabeln zeichnest, siehst du, dass sich beide in zwei Punkten schneiden. f(x) = x² ist nach oben geöffnet, g(x) = 6 - x² nach unten. Der sinnvolle Definitionsbereich liegt offenbar zwischen diesen beiden Schnittpunkten, die zu ermitteln sind.

    Dazu setzt du die Funktionsgleichungen gleich: x² = 6 - x²

    2x² = 6

    x² = 3

    x1 = 1,732 (Wurzel 3)

    x2 = -1,732

    [Blockierte Grafik: https://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=64f72c7ae67885.06535702]

    Aus Symmetriegründen kannst du die beiden Parabelteile betrachten, die rechts von der y-Achse liegen.

    Die Fläche des einbeschriebenen Rechtecks berechnest du nach der Formel A = a*b

    Dabei entspricht a dem x-Wert und b dem Funktionswert g(x) - f(x) folglich: A = x*(g(x) -f(x))

    A = x*((6 - x²) - x²)

    A = 6x - 2x³

    Nun die erste Ableitung bilden.

    A' = 6 - 6x²

    Erste Ableitung Null setzen.

    A' = 0

    6 - 6x² = 0

    6x² = 6

    x² = 1

    x = 1

    Die Länge des gesuchten Rechtecks wäre doppelt so lang, also 2 Einheiten, die Breite 4 Einheiten und damit die Flächengröße 8 FE.