Geometrie Dreiecksaufgabe

  • Hallo ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

    . a) Zeichnen Sie ein gleichseitiges Dreieck ABC mit 6 cm langen Seiten. Markieren Sie im Inneren des Dreiecks verschiedene Punkte K,L,M,N,... Bestimmen Sie bei jedem Punkt die Abstände von den drei Dreiecksseiten. Messen Sie dabei immer im rechten Winkel. Addieren Sie für jeden Punkt die drei Abstände

    Beweisen Sie a) für eine beliebige Seitenlänge. Unterscheiden Sie dabei Fälle: i. Der Punkt K ist ein Eckpunkt. ii. Der Punkt K liegt auf einer Dreiecksseite. iii. Der Punkt K liegt im Innern des Dreiecks.

    Ich habe das Dreieck gezeichnet und Punkte eingezeichnet und die Summe der Abstände des Punktes zu den Dreiecksseiten waren immer gleich, auch bei den Sonderfällen die man beweisen soll. Allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich das beweisen soll, wenn mir jemand helfen könnte wäre ich sehr glücklich.

    • Offizieller Beitrag

    Ein beliebiger Punkt P liege innerhalb des gleichseitigen Dreiecks. Seine senkrechten Abstände zu den Seiten bezeichnest du mit
    pa - Abstand zur Seite a
    pb - Abstand zur Seite b
    pc - Abstand zur Seite c

    Nun verbindest du den Punkt P mit den Eckpunkten A, B, C des gleichseitigen Dreiecks und bekommst drei Teildreiecke im Inneren.

    Du berechnest die Flächeninhalte der Teildreiecke:

    A1 = (1/2)*pa* a
    A2 = (1/2)*pb* a
    A3 = (1/2)*pc*a

    Die Summe der drei Teildreiecke entspricht dem Flächeninhalt des gleichseitigen Dreieicks

    [TEX]A =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/TEX]

    Jetzt kannst du gleichsetzten:

    [TEX]\frac{a}{2}*(pa+pb+pc) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/TEX]

    Vereinfachen zu: [TEX]pa + pb +pc = \frac{a}{2}*\sqrt{3}[/TEX]

    Das bedeutet: Die Summe der drei Senkrechten von einem Punkt P auf die drei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks entspricht immer der Höhe des Dreiecks!

    Einmal editiert, zuletzt von Olivius (20. April 2018 um 19:19)