Aufgabe zu Harmonischen Schwingungen (Physik-LK S1)

  • Folgenden Aufgabe:
    An einer Schraubenfeder hängt ein Körper der Masse 400g. Durch einen Stoß in vertikaler Richtung wird die Feder in Schwingungen versetzt. Die Amplitude beträgt 5cm, die maximale Geschwindigkeit 20 cm/s. (g=10m/s²)


    b) Wie lautet die Weg-Zeit-Gleichung wenn der Körper zur Zeit t=0 durch die Gleichgewichtslage schwingt?


    Das Weg-Zeit-Gesetz einer harmonischen Schwingung ist
    s(t)=Smax*sin(omega*t)
    s(t)=Smax*sin(2 * Pi * f * t)
    Smax kann man ja nun schon einsetzen:
    s(t)=0,05m*sin(2 * Pi * f * t)


    Was jetzt noch fehlt ist die Frequenz. Diese habe ich wie folgt berechnet:
    D=m * omega² |:m
    Omega = wurzel(D/m)
    Jetzt brauchen wir die Federkonstante D. Die habe ich berechnet indem ich (0,4kg * 10m/s²) / 0,05m gerechnet habe. Da kommt dann 80 raus.
    Omega = wurzel(80/0,4)
    Omega = 14,14 |:2*Pi
    Frequenz = 2,25


    Also habe wir :
    s(t) = 0,05m * sin(2 * Pi * 2,25 * t)
    So weit richtig?


    c) Wie lange dauert eine Schwingung?
    Hierbei habe ich glaube ich keine Fehler gemacht, aber ich schreibe es der Vollständigkeit halber auf:
    T = 2 * Pi * wurzel(m / D)
    eingesetzt:
    T = 2 * Pi * wurzel(0,4 / 80)
    T = 0,44s


    Jetzt kommt's:
    d) Berechne die größte und die kleinste Kraft mit der die Feder im Laufe einer Schwingung belastet wird!


    Mein Ansatz ist die Newtonsche Grundgleichung : F = m * a
    m ist ja klar: 0,4
    a(t) ist die zweite Ableitung von s(t). Also:
    s(t) = 0,05m * sin(2 * Pi * 2,25 * t)


    v(t) = 0,05m * 2 * Pi * 2,25 * cos(2 * Pi * 2,25 * t)


    a(t) = -0,05m * (2 * Pi * 2,25)² * sin(2 * Pi * 2,25 * t)


    Zur Kontrolle der ersten Ableitung habe ich bei dieser t=0 gesetzt und das ausgerechnet. Wenn ich bis hierhin alles richtig gemacht habe müssten eigentlich 0,2m/s raus kommen. Ich bekomme jedoch 0,7m/s heraus.
    Die von mir errechneten 0,7m/s(2,52km/h) finde ich auch realistischer als die vorgegeben 0,2m/s(0,72km/h).
    Bei wem liegt nun also der Fehler?

  • v_max= s_max * ω -> ω = Vmax/Smax = 41/s
    ω = √(D/m) -> D = ω^2m = 161/s^2 * 0,4kg = 6,4 kg/s^2
    T = 2π√(m/D) = 2π√(0,4kg/(6,4 kg/s^2 )) = 1,57s
    F = D*s
    F_max = D*s_max = 6,4kg/s^2 * 0,05m = 3,2(kg*m)/s^2 = 3,2N