Kreisberechnung

  • Hi ich habe eine Frage zu einer Aufgabe:
    Ich komme hier nicht weiter


    Drei Kreise mit gleichem Radius schneiden sich so, dass
    der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem Rand der beiden
    anderen Kreise liegt.
    Man bestimme den Flächeninhalt von dieser Fläche.


    Wäre nett wenn jemand mir helfen könnte.

  • Hallo,


    zeichne dir die Figur am Besten mal auf. Dann siehst du drei Schnittflächen zwischen jeweils zwei Kreisen, die sich in der Mitte alle drei schneiden.
    Die Fläche eines Kreises nenne ich A1 = pi * r²
    Die mittlere Schnittfläche aller drei Kreise nenne ich A3.
    Die Schnittfläche zwischen 2 Kreisen, worin A3 auch enthalten ist, nenne ich A2.
    Dann ist die Gesamtfläche 3*A1 - 3*A2 + A3.
    Das eigentliche Problem besteht jetzt darin, A2 und A3 zu berechnen.


    Gruß Dörrby

  • A2: Zerlegt man A2 mit einer Linie durch die Schnittpunkte der beiden Kreise, erhält man zwei Teile, von denen jeder einzelne ein 120°-Sektor (d.h. A1 * 120 / 360) minus ein Dreieck der Fläche 1/2 * Wurzel(3)r * r/2 ist, also
    A2 = A1/3 - r^2*Wurzel(3)/4


    A3: Verbindet man die drei Kriesmittelpunkte miteinander, erhält man ein gleichseitiges Dreieck, das zusammen mit einer der Bogenflächen einen 60°-Sektor ergibt, also A1 * 60 / 360. Davon zieht man das Dreieck ab (Fläche: 1/2 * r * Wurzel(3)*r/2) und erhält eine Bogenfläche. Also ist
    A3 = 3 * (A1*60/360) - 2 * Wurzel(3)*r^2 /4


    Gruß Dörrby