Kurvendiskussion: Nullstellen (Extrema und Wendepunkte)

Marielis

Liebe Benutzer vom Hausaufgaben- Forum !
Ich brauche dringend Eure Hilfe bei meinen Mathehausaufgaben.
Es handelt sich um eine Kurvendiskussion an folgender Gleichung:

f(x)= -(3/10)x^4+(9/100)x^3+(243/100)x^2-(177/100)x-(9/50)

Als erstes sollen wir die Nullstellen berechnen, hierfür wollte ich die Gleichung f(x)=0 setzen, und versuchen ein x zu isolieren bzw. auszuklammern, um möglicherweise an eine pq-Formel zu kommen. Störend ist hier aber das letzte Glied -(9/50). Hier kann ich kein x isolieren und hab auch keinen Lösungsansatz, was ich mit diesen -(9/50) "anstellen" soll. Ich habe versucht diese per Befehlsstrich zu addieren, finde aber (9/50)=-(3/10)x^4... nicht gerade vereinfachend.
Mithilfe des CAS habe ich ausgerechnet, dass die Nullstelle bei -0,0905 liegen soll. (Garantiere aber nicht für Richtigkeit ) Allerdings dürfen wir nur Lösungen die "zu Fuß" erarbeitet wurden vortragen.

Bei den Extrema und Wendestellen erübrigt sich das gleiche Problem. Ich habe immer ein Glied ohne x und kann damit nichts anfangen.

Ich hoffe, mir kann jemand helfen
Liebe Grüße

nif7

Hi,
für Polynome mit einem Grad größer als 2 gäbe es die folgenden Möglichkeiten, eine Lösung zu erhalten:
1. Ausklammern von x
2. Substitution
3. Erraten von Lösungen

In deinem Fall sehe ich allerdings keine Möglichkeit, mit Schul-Arithmetik zu einer Lösung zu gelangen. Man könnte zwar 3/100 ausklammern, um den Term einfacher lesbar zu machen, aber mehr fällt mir hier nicht ein...
LG nif7

Marielis

Vielen lieben Dank!
Ich werde es nocheinmal mit deinen Lösungsvorschlägen probieren
LG

qweet

Zitat von Marielis

Liebe Benutzer vom Hausaufgaben- Forum !
Ich brauche dringend Eure Hilfe bei meinen Mathehausaufgaben.

Es handelt sich um eine Kurvendiskussion an folgender Gleichung:

f(x)= -(3/10)x⁴+(9/100)x³+(243/100)x²-(177/100)x-(9/50)

Als erstes sollen wir die Nullstellen berechnen,
hierfür wollte ich die Gleichung f(x)=0 setzen,
und versuchen ein x zu isolieren bzw. auszuklammern,
um möglicherweise an eine pq-Formel zu kommen.

[...]

Ich hab mal 3/10 x ausgeklammert
und das erhalten:

ausklammern von 3/10:

f(x) = -(3/10)x⁴+(9/100)x³+(243/100)x²-(177/100)x-(9/50)

f(x) = 3/10 ( -x⁴ +(3/10)x³ +(81/10)x²-(59/10)x-(3/5) )

Ausklammern von x:

= 3/10 ( x[ -x³ + (3/10)x² +(81/10)x-(59/10) ] -(3/5) )

= 3/10 ( x[ x{ -x² + (3/10)x +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

= 3/10 ( x[ x{ x( -x + (3/10) ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

Jetzt rate ich
und setze für x = 3/10 ein.

Probe in Ausgangsgleichung:

f(x)= -(3/10)(3/10)⁴+(9/100)(3/10)³+(243/100)(3/10)²-(177/100)(3/10)-(9/50)

f(x) = 0 + (243/100)(9/100) – (531/1000) -(9/50)

f(x) = 0 + (2187/10000) – (531/1000) -(9/50)

f(x) = - 4923/10000 = -0,4923

Nahe Null jedoch eben nicht wirklich Null.

Marielis

Das ist sehr nett! Vielen Dank! Ich bin dadruch schon ziemlich weitergekommen

qweet

Zitat von Marielis

Das ist sehr nett! Vielen Dank!

Ich bin dadruch schon ziemlich weitergekommen

Ich hab mal weitergeraten:

x = 3/5

= 3/10 ( x[ x{ x( -x + (3/10) ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

= 3/10 ( x[ x{ x( -3/5 + (3/10) ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )
= 3/10 ( x[ x{ x( -3/10 ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

= 3/10 ( x[ x{ 3/5( -3/10 ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )
= 3/10 ( x[ x{ -9/50 +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

= 3/10 ( x[ 3/5{ -9/50 +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )
= 3/10 ( x[ -27/250 +243/50 -(59/10) ] -(3/5) )

= 3/10 ( 3/5[ -27/250 ) +243/50 -(59/10) ] -(3/5) )
= 3/10 ( -81/1250 +729/250 -177/50 -(3/5) )

= 3/10 ( -81/1250 +729/250 -177/50 ] -(3/5) )
= -243/12 500 +2187/2500 -531/500 -9/50

= -243/12 500 +10 935/12500 -13275/12500 -2250/12500
= 10 935/12500 -15768/12500
= 4833/12500
= 0,38664

Es sind also 6/10
näher dran an Null
als 3/10,
da 0 < 0,38664 < |-0,4923|

Wäre die nächste zu ratende Zahl
etwas höher als 6/10?

7/10?

Oder 13/20?

[HR][/HR]

Ich hab jetzt nochmal 13/21 ausprobiert:

x = 13/21

Probe in Ausgangsgleichung:

f(x) = -(3/10)(13/21)⁴+(9/100)(13/21)³+(243/100)(13/21)²-(177/100)(13/21)-(9/50)

f(x) rund -0,04405726 +0,021350826 +0,931224489 – 1,095714286 – 9/50

f(x) ≈ -0,36719583

Es sind also 13/21
näher dran an Null
als 6/10,
da 0,38664 > |-0,36719583| > 0

Lottospieler

Das, was du hier als Lösung anbietest, ist nichts anderes als Stochern im Nebel?
Das ist doch keine seriöse Lösung, sondern Rumraterei. Was soll das?

Marielis

Vielen Dank für die große Mühe ! In der Schule haben wir jetzt geklärt, dass wir das nur mit Subtraktion lösen sollen Trotzdem vielen, lieben Dank!:)

Olivius

Das würde mich sehr interessieren, was das für ein neues Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ist: Könntest du die Lösung vielleicht mal hier darstellen?

Marielis

Zitat von Olivius

Das würde mich sehr interessieren, was das für ein neues Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ist: Könntest du die Lösung vielleicht mal hier darstellen?

Ich war gerade Feuer und Flamme und hatte diese Idee mit der Substitution, da die Subtraktion auch nach mehreren Malen nicht funktioniert hat... Aber für eine Substitution hab ich zu viele Glieder, die ein x kleiner als x² haben, und somit nicht zu meinem "Befehl" x²=z passt.
Die Substitution würde aber an einer "idealen" Gleichung so aussehen:

f(x)= x^4 - 8*x² +16 / Substitution x²=z (Für alle x² schreibe ich nun z, bzw. bei x^4 schreibe ich z²
= z² - 8z + 16 = 0 / pq-Formel (Die pq Formel im allgemein: -(p/2) +/- Wurzel aus ((p/2)² - q)
z1,2 = 4 +/- Wurzel aus (16-16) (Hier hab ich die pq-Formel schon so weit es geht vereinfacht)
z1 = 4 / Wurzel zur Resubstitution (Laut Befehl ist z=Wurzel aus x, also muss hier resubstituiert werden)
Betrag von x = 2 -> x1= -2 und x2 = 2

Eine Lösung zu meiner ursprünglichen Gleichung hab ich zwar nicht, aber ich hab das Prinzip jetzt weitesgehend verstanden, und darum geht es ja auch Vielen Dank nochmal für die ganzen Antworten!
LG

Olivius

Danke für deine Darstellung: Es ist richtig, die Substitutionsmethode funktioniert hier nicht, weil du keine reine biquadratische Gleichung hast. Es gibt hier nur die Möglichkeit der Lösung einer Gleichung 4. Grades, die ziemlich kompliziert ist und in der Schule im Allgemeinen nicht gelehrt wird. Aus diesem Grunde verstehe ich nicht, warum hier eine exakte Rechnung verlangt wird: Zeitsparend ist die Lösung mit Hilfe eines Programms.

qweet

Zitat von Lottospieler

Das,
was du hier als Lösung anbietest,
ist nichts anderes
als Stochern im Nebel?

Das ist doch keine seriöse Lösung,
sondern Rumraterei.

Was soll das?

Du hast Recht.

Ich habe herumgeraten
und ich habe im Nebel gestochert.

Doch manchmal führt das Stochern im Nebel
zur richtigen Lösung.

Ich stell mir da ein Schiff vor
das im dichten Nebel
irgendwo langmanövrieren muss.

Welcher Kurs ist nun der Richtige?

Kurvendiskussion: Nullstellen (Extrema und Wendepunkte)

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