h-Methode

Bei deiner Aufgabe geht es bei der Funktion f'(x) = [TEX]3x^2 + 7x +10[/TEX] um den Übergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung im Punkt [TEX]x_0 = -1[/TEX].

Grundsätzlich gilt: [TEX]m_s = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/TEX]

[TEX]m_s = \frac{3(-1+h)^2+7(-1+h) +10 -[3(-1)^2+7(-1)+10]}{h}[/TEX]

[TEX]m_s = \frac{3(1 - 2h +h^2)+7(-1+h) +10 -3 + 7 -10}{h}[/TEX]

[TEX]m_s = \frac{3h^2 + h}{h}[/TEX]

Für den Fall h ungleich Null darf man kürzen und erhält: [TEX]m_s = 3h +1[/TEX]

Nun lässt man h eine Nullfolge durchlaufen, das bedeutet, h wird kleiner und kleiner.

Mathematisch ausgedrückt wird das mit dem Limes.

Limes (3 h +1) für h gegen Null wird 1.

Das heißt: Die Tangentensteigung der Funktion f(x) = [TEX]3x^2 + 7x +10[/TEX] an der Stelle [TEX]x_0 = -1[/TEX] beträgt. +1.

Zitat von Mathetrottel

Ich habe noch eine Frage, die hat aber nichts mit der h-Methode zutun. Trotzem hoffe ich, dass du mir helfen kannst undzwar wenn ich rausfinden muss ob ein ganzrationaler Term punkt- oder Achsensymmetrisch ist, muss ich ja die exponenten betrachten. Aber wie sieht das bei diesen Aufgaben aus?

1. x
--- <- soll einen bruchstrich darstellen
x²+1

2. x(x-1)(x+1)

3. 1/6² -x²-√(2)+1

Danke im vorraus

Deine Funktionen sind nicht eindeutig lesebar. Warum nutzt du nicht die Tex-Funktion?

Ich schreibe die Funktionen noch einmal hin, und du entscheidest, ob du es so gemeint hast.

1) [TEX] f(x) =\frac{x}{x^2+1}[/TEX]

2)[TEX]f(x) = x(x-1)(x+1)[/TEX]

3) [TEX]f(x) = \frac{1}{36} -x^2 -\sqrt(2) +1 = \frac{37}{36} - x^2 - \sqrt2[/TEX]

Bei diesen Funktionen sollst du nun entscheiden, ob sie punkt- oder achsensymmetrisch sind?

Bei der Überprüfung einer Funktion bezüglich ihrer Symmetrie gilt ganz allgemein:

Wenn f(x₁) = f(-x₁) ist, dann liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.

Wenn f(x₁) = -f(-x₁) ist, dann liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor.

Als Beispiel rechne ich dir deine erste Aufgabe vor:

[TEX]f(x) = \frac{x}{x^2 +1}[/TEX]

Als Überprüfungspunkt wählst du x₁ = 1 mit f(x₁) = 0,5.

Wenn Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, dann müsste der Funktionswert von f(-1) ebenfalls 0,5 sein, - ist er aber nicht, sondern: - 0,5.
Damit ist die Bedingung für die Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt.

Dann kannst du bei der Aufgabe 2) u. 3) sofort entscheiden, welche Symmetrie vorliegt. Bei gebrochen rationalen Funktionen ist das nicht ganz so einfach; da musst du sowohl das Polynom des Zählers als auch das des Nenners in Betracht ziehen. (Bei der Aufgabe 1 ist die Zählerfunktion ungerade, die Nennerfunktion hingegen gerade. Insgesamt handelt es sich bei f(x) um eine ungerade Funktion.) Bei geraden Funktionen liegt Achsensymmetrie vor, bei ungeraden Punktsymmetrie.

Zitat von Mathetrottel

ja genau das meine ich. JA genau ich soll das anhand der Exponenten entscheiden, das ist an sich kein Problem. Nur wie gesagt, bin ich wegen der Wurzeln und Klammern verwirrt und kann die Exponenten nicht erkennen.

Die Wurzel aus 2 ist ja ein reiner Zahlenwert.

Zitat von Mathetrottel

sind also 2 und 3 Achsensymmetrisch? Und wo sind denn bei der der ersten Aufgabe die ungeraden Exponenten?

x = x¹ - Deine Annahme ist falsch. Nur 3) ist achsensymmetrisch.

Bei gebrochen rationalen Funktionen der Form f(x) = [TEX]\frac{p(x)}{q(x)}[/TEX] sieht es so aus:

Ist p(x) eine gerade Funktion und q(x) eine gerade Funktion, dann ist f(x) ebenfalls eine gerade Funktion.

Ist p(x) eine ungerade Funktion und q(x) eine ungerade Funktion, dann ist f(x) eine gerade Funktion.

Sind p(x) und q(x) unterschiedliche Funktionen (gerade / ungerade), dann ist f(x) eine ungerade Funktion.

Deine Frage zu 1) ist mir nicht ganz klar geworden; die solltest du noch einmal präzisieren und vielleicht mit einem Beispiel verdeutlichen.

Zu 2): Was meinst du mit "Bestimmtes beachten"? - Rechenregeln beachten!

Zu 3) Dein Beispiel ist recht unglücklich gewählt. Bei dieser Art von Aufgaben wird man normalerweise versuchen, eine Nullstelle zu erraten. Alsdann wird man mit Hilfe der Polynomdivision die beiden anderen Nullstellen ermitteln. Wie willst du eine Linearfaktorzerlegung angeben, wenn du keine Nullstelle kennst?

Zu 1)
Bei der Aufgabe ist klar, dass man aus (-9) keine Wurzel ziehen kann. Folglich kommen als Lösungen (Nullstellen) nur die beiden Wurzeln aus 6 in Frage.
Zu 2) Da brauchst du überhaupt nicht zu rechnen, sondern nur zu überlegen: Wenn x immer größer wird, und dazu noch mit einem immer größer werdenden Faktor multipliziert wird, dann strebt der Funktionswert auch zu immer größeren Werten.

Zu 3)
Folgende Aufgabe: f(x) = x⁴ - x³- 7x² + x +6

Wenn du bei dieser Aufgabe die Nullstellen bestimmen willst, dann musst du eine Nullstelle erraten. (Hilfe: Es muss ein Faktor von 6 sein.)

Wenn du den gefunden hast, dann hast du einen Linearfaktor ermittelt, z. B (x - 3). Alsdann dividierst du die obige Funktion durch (x -3) [Polynomdivision].

Meinst du bei Aufgabe 1) x⁶ -10x³+9 = 0 ?

Bei 2) sind die Klammern miteinander zu multiplizieren.

Bei Aufgabe 3) kannst du die Linearfaktoren sofort hinschreiben: (x-3)*(x-3)*(x+7)