Extremwert

  • Könnte mir vielleicht jemand diese Aufgabe lösen, ich bekomm sie nicht hin


    Ein Kirchenfenster (Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis) soll bei einer Fläche von 1m²wegen der teueren Bleifassung einen möglichst kleinen Umfang für den Rahmen erhalten. Wie sind die Fensterabmessungen zu wählen, wenn zusätzlich bedacht werden muss, dass zwischen dem halbkreisförmigen und rechteckigen Fensterteil ebenfalls eine Bleifassung vorgesehen ist?

  • 1. Bezeichnungen:
    b : Breite des Fensters
    h : Höhe des Rechteckteils des Fensters


    2. Flächenberechnung: 1 = b*h+1/2*(1/2b)^2*pi
    Daraus folgt: h = 1/b - 1/8*pi*b


    3. Länge der Bleifassung:
    f = 2b+2h+1/2*2*pi*(1/2b)


    4. h aus 2. in 3. einsetzen ergibt die charakteristische Funktion:


    f(b)=2b+2/b-1/4*pi*b+1/2*pi*b = 2b + 2/b - 1/4*pi*b


    5. Differenzieren und die Ableitung gleich null setzen und nach b auflösen.


    Ergibt b = √(2/(2-1/4*pi)) ≈ 1,283


    und h ≈ 0,275


    (Ziemlich eigenwilliges Format ) :D