Parabelgleichnungen

Also hallo erstmal
ich bin alexander und ich habe einige probleme mit parabelgleichnungen
und zwar hält es meine lehrerin für unangebracht uns beizubringen wie wir den Extrempunkt rechnerisch herausbekommen (also ohne GTR)
nehmen wir als beispiel mal die gleichung
f(x)=x²-2x-10
nun hab ich leider keine ahnung wie ich da nun genau auf den extrempunkt kommen soll
dass es in dem fall ein tiefpunkt ist ist mir klar das problem beseht eben nur darin diesen genau rechnerisch zu bestimmen

mein 2. problem ist nun das aufstellen von parabelgleichungen anhand von 3 punkten z.b.
A(7,5;0)
B(2;8)
C(2,7;3)
dass ich nun 3 gleichungen daraus bilden muss und das gleichungssystem ausrechnen muss ist mir klar das problem ist nur wie

ich bitte um hilfe

MfG Alex

Ich vermute mal Ableitung habt ihr noch nicht gelernt?

Zum Extrempunkt von Parabel:

f(x) = x² - 2x - 10 = (x² - 2x + 1) - 11= (x-1)² - 11

Dann sieht man dass das eine verschobene normalparabel ist.
für x = 1 kommt der kleinste wert raus. Sie ist also eins nach rechts verschoben und um 11 nach unten.
Nach oben Geöffnet hast du ja selber erkannt. => Tiefpunkt bei (1|-11)

Anderes Beispiel:
g(x) = - (x+3)² - 25
Aus dem 1. Minus folgt, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.
die 3 Zeigt an, dass sie 3 nach links (anderes Vorzeichen) verschoben ist.
-25 bedeutet wieder, verschiebung um 25 nach unten. => Hochpunkt (-3|-25)

Zum Aufstellen der 3 Gleichungen:
Allgemeine form einer Parabel ist: y = ax² + bx + c
Die drei Gleichungen erhälst du in dem du die Punkte in die Form einsetzt. a,b und c sind dann zu bestimmen.

Parabelgleichung aus 3 Punkten

Bei allen drei Gleichungen hast du am Ende c stehen. Es ist also hier am einfachsten, wenn du zwei Differenzen von je zwei Gleichungen bildest (z.B. Ia=I-II und IIa=II-III), und dadurch zunächst c eliminierst.
Um anschließend b zu eliminieren, erweiterst du die neuen Gleichungen jeweils mit dem Faktor vor dem b in der jeweils anderen Gleichung, z.B.
Ia : 5 = 4a + 2b |∙3
IIa: 12= 8a + 3b |∙2
und bildest dann wieder die Differenz.
Dann rechnest du a aus und setzt es z.B. in die Gleichung Ia ein, um b auszurechnen.
Dann setzt du a und b in eine der Ausgangsgleichungen ein, um c auszurechnen.

Am Ende Probe nicht vergessen, v.a. weil bei den "krummen" Koordinaten bestimmt nichts "Schönes" rauskommt.