Hallo! Ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Ermiitle Monotonie- und Krümmungsbereiche der Funktion f. Gib allenfalls vorhandene Hoch-, Tief-, Wende- und Terrassenpunkte des Graphen von f an.
f(X) = 1/18 (x³ - 6x² - 15x + 64)
Danke im Vorraus
lg Michael
Eine Funktion dritten Grades mit positivem Faktor vor x³ ist monoton steigend, außer in dem Bereich zwischen den zwei Extrempunkten, sofern es welche gibt.
Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte): f'(x) = 0, nach x auflösen, f''(x) ≠ 0, x in ursprüngliche Funktion einsetzen.
Wendepunkte: f''(x) = 0, ... (s.o.)
Terrassenpunkte (Sattelpunkte ??): f'(x) = 0, f''(x) = 0 , f'''(x) ≠ 0, ...
danke erstmal....ich bin jetzt einiege zeit an der aufgabe gesessen....
also...für die extremstellen braucht man die 1. ableitung und muss diese 0 setzten
1/18 (3x² - 12x - 15) = 0
X1 = -1.1
X2 = 4,8
2. ableitung:
6x-12
en
also ist X1 der hochpunkt, da f"(-1.1) kleiner null ist und X2 der tiefpunkt da F"(4.8) größer als 0 ist
stimmt das??
die wendestelle ist glaub ich 2
man muss dafür doch einfach F" lösen oder??
aber für den wendepunkt brauch ich noch die y koordinate....muss ich dafür die x koordinate in F einsetzen oder in F" ??
wie formuliere ich mathematisch korrekt das Monotonieverhalten?? komme ich nur durch die zeichnung darauf oder geht das auch rechnerisch??
ich muss den graphen auch zeichnen...brauche ich dafür nicht auch die nullstellen von F??
irgendwie tu ich mir schwer bei diesem beispiel die nullstellen zu berechnen....ich weiß das man F einfach 0 setzen muss...muss ich tatsächlich die ganze klammer dann mit 1/18 ausmultipilizieren??
Die 1. Ableitung ist richtig, aber da kommen andere x-Werte raus (–1 und 5). Kann man hier übrigens sehr schön mit dem Satz von Vieta machen:
f'(x) = 1/18 (3x² - 12x - 15) = 1/6 (x² - 4x - 5) = 1/6 (x-5)(x+1)
und dann kannst du die Extremstellen quasi ablesen.
X1 ist nur die x-Koordinate vom Hochpunkt, die y-Koordinate musst du noch ausrechnen, indem du das berechnete x in die ursprüngliche Funktion, also f(x), einsetzt. Entsprechend beim Wendepunkt.
Den Hochpunkt kannst du dann auch daran erkennen, dass die y-Koordinate höher ist als die vom anderen Extrempunkt.
Monotonie: Betrachte die 1. Ableitung: Ist diese positiv, dann steigt die Funktion monoton, ist sie negativ, dann fällt die Funktion monoton. Die Grenzen dazwischen sind die Extrempunkte.
Graph und Nullstellen: Um den Graphen zu zeichnen, brauchst du nur eine Wertetabelle, nicht unbedingt die Nullstellen. Die Nullstellenberechnung ist hier tatsächlich mit der Schulmathematik nicht möglich, denn es gibt keine "einfache" Nullstelle, die man mit Polynomdivision rausteilen könnte. Wenn's ginge, bräuchtest du nur mit 18 durchmultiplizieren, dann ist der Bruch weg, denn auf der anderen Seite steht 0 ∙ 18 = 0
danke für die hilfe!
stimmt das: hochpunkt: (-1/2)
tiefpunkt (5/3,5)
wendepunkt: (2/0,5)
zur monotonie: ich muss also zuerst z.B. f' (-2) ausrechnen für den hochpunkt...ist er positiv ist es streng monoton steigend und wenn negativ, dann umgekehrt...
und für den tiefpunkt dasselbe mit z.B. f' (6)
oder??
und im intervall -1 ; 5 also zwischen den extremwerten ist es streng monotn fallend??
Auf http://www.geogebra.org gibt's ein Programm, mit dem man u.a. Funktionsgraphen zeichnen lassen kann. Aus dem Graphen lese ich ungefähr ab:
Hochpunkt (–1/4)
Wendepunkt (2/1)
Tiefpunkt (5/–2) -> Einsetzen: f(5) = 1/18 * (5³ –6*5² –15*5 +64) = 1/18 * (125–150–75+64) = 1/18 * (–36) = –2
Monotonie: Ich weiß nicht, wie du auf –2 und 6 kommst, aber bis zum Hochpunkt ist der Graph monoton steigend, zwischen den Extrempunkten monoton fallend und danach wieder monoton steigend. Wenn du die Extrempunkte jeweils aus den Intervallen rausnimmst, ist es sogar immer streng monoton.
