Schwebung

Moin Leute,

ich habe das folgende Problem:
Zwei Wellen mit unterschiedlicher Amplitude überlagern sich. Dabei entsteht die Schwebung, also das Auf- und Abschwellen der Intensitäten mit der Zeit.
Die Überlagerung kann folgendermaßen dargestellt werden:
A1*e^(i*w1*t)+A2*e^(i*w2*t), wobei die A die Amplituden, die w die Kreisfrquenzen und t die Zeit darstellen.

Jetzt berechnet sich der Intensitätsverlauf mit der Zeit, einfach indem ich den ganzen Spaß quadriere. Dabei soll
I=A1^2+A2^2+2*A1*A2*cos(w1-w2)t herauskommen. Vor allem physikalisch macht das ganze ja auch Sinn. Ich bekomm's aber nicht hin: Ich erhalte immer
A1^2*e^(2i*w1*t)+A2^2*e^(2i*w2*t)+2*A1*A2*e^(i*(w1+w2)*t

Wenn ich von all' dem die Realteile betrachte, dann erhalte ich

A1^2*cos(2*w1*t)+A2^2*cos(2*w2*t)+2*A1*A2*cos(w1+w2)t,

wobei ja schon am letzten Kosinus offensichtlich ist, daß das ganze Quatsch sein muss, da sich die Intensität auf gar keinen Fall mit w1+w2 ändert!

Kann mir jemand helfen?

Wir sind Ortsfest, d.h. brauchen wir nicht zu beachten.
Eine Schwebung entsteht, da beide Frequenzen dicht beieinander sind. Das war der Gesamtzusammenhang, denn ich nicht angegeben habe. Es ist aber im Prinzip für die Aufgabe egal, da es nur üm die Überlagerung bzw. die allgemeine Gleichung geht. Ob Du dann zwei weit oder nah auseinanderliegende Frequenzen einsetzt ist ja dann gleichgültig: Das allgemeine Ergebnis muss ja unabhängig davon sein! Und darum geht es mir: Zwei Wellen (egal welche, aber unterschiedliche Frequenzen und Amplituden) überlagern sich. Das beduetet für mich erst einmal an einem festen Ort: Addition der beiden Wellen A*cos(w*t). Wenn ich beide addiert habe, muß ich, um die Intensität zu Erhalten die resultierende Welle ins Quadrat setzen, wobei meine geschilderten Probleme auftauchen.
Verstehst Du mein Problem?

Die Amplituden können beliebig gewählt werden.
Die Gleichung, die herauskommen soll, kann man auch in einigen Büchern nachschlagen, und physikalisch verstehe ich den Inhalt vollkommen. Aber sie muss sich doch aus dem allgemeinen Ansatz der Superposition ergeben!
Ich denke also, daß der Ansatz richtig ist, und es eher meine mangelnden Mathematik-Kenntnisse sind, die mir das Ergebnis vorenthalten.

Ok, ich habe gestern mal die Überlagerung in Excel mit konkreten Zahlenwerten dargestellt.

Dabei habe ich folgendes getan:

Zunächst habe ich A1*cos(w1*t)+A2*cos(w2*t) berechnet und das ganze quadriert. Dies ist auf jeden Fall die richtige Kurve, mit der ich alle anderen folgenden Kurven vergleichen konnte.

Dann habe ich die vorgegebene Lösung eingegeben und festgestellt, daß es sich bei der Lösung nicht um die Überlagerung beider Schwingungen, sondern um die Einhüllende der resultierenden Schwingung handelt, allerdings mußte ich sie noch um 180° phasenverschieben.

Die Lösung, die ich berechnen wollte, müßte - so dachte ich mir - dann aber doch wenigstens das Quadrat eregeben, daß ich am Anfang berechnet habe. Aber hier muss ich trotzdem irgendeinen Fehler machen, denn mit meiner abgeleiteten Formel erhalte ich negative Werte, was bei einem Quadrat ja dann doch eher falsch ist!

Ich werde jetzt noch einmal mit einem anderen Ansatz versuchen, die vorgegebene Formel abzuleiten.

Es gibt aber eine neue Frage:
Wieso ist meine bisherige abgeleitete Formel nicht mit (A1*cos(w1*t)+A2*cos(w2*t))^2 identisch?

Für Hilfe wäre ich dankbar!

Das kann schon sein. Aber wie lautet die Begründung?

Wenn ich zwei komplexe Zahlen a+ib und c+id habe, die beiden addiere und dann quadriere ist das doch einfach

[(a+c)+i(b+d)]^2 = [(a+c)+i(b+d)]*[(a+c)+i(b+d)]

oder?

Aber es wird doch überall (z.B. in der Quantenmechanik) das Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude benannt! Wird das nicht durch Quadrieren ausgerechnet?

Übrigens: Vielen Dank, daß Du Dich diesem Thema widmest. Ich hatte schon befürchtet, daß sich keiner dazu meldet.

Vielen Dank, Franz!
Ich habe das ganze gerade mit dem "konjuguirt-komplexen-Ansatz" durchgespielt und komme auf die gesuchte Formel (ohne den Minus-Fehler, der im Buch angegeben war!)
Also vielen Dank nochmal!

Christian

I.A. möchte man die "Länge" eines Vektors bzw. den Abstand zwischen zwei Punkten definieren. Die komplexen Zahlen lassen sich in einer zweidimensionalen Ebene darstellen (mit realer und imaginärer Achse).
Die Länge des Vektors im R² z=(a,b) ist sqrt(a^2+b^2).
Nimmt man nun die komplexe Zahl z=a+ib und bildet das Quadrat z^2=(a+ib)*(a+ib)=a^2-b^2+2*i*a*b, wohingegen das Betragsquadrat |z|^2=z*(z*)=(a+ib)*(a-ib)=a^2+b^2 ist und analog zum R² ist.

Bei Physikalischen Größen ist es ganz praktisch reelle Zahlen zu haben, die man messen möchte (komplexe Zahlen lassen sich nicht messen), weshalb die Messwerte reell sein müssen. Das elektrische Feld lässt sich nicht direkt messen, darf also imaginär-Teile haben. Die Intensität des E-M-Feld muss aber reell sein, daher ist I=|E|^2. In der Quantenmenchanik müssen die Eigenwerte (=möglichen Messwerte) reell sein.

Mit dem E-Feld und den Schwebungen kann man das auch mit dem Ansatz rechnen, dass man E1=A1*cos(w1*t) wählt (entsprechend E2). Dann kann man I ausrechnen, muss sich jedoch durch die Additionstheoreme für die trigonom. Funktionen durchkämpfen.

ein statisches Feld kannst du über eine Kraftmessung an einer Testladung vermessen, bei Wechselfeldern ist das aber schwierig.