Flächeninhalt zwischen 2 Graphen

  • Folgende Aufgabe:


    Bestimme diejenige Ursprungsgerade, welche die Fläche zwischen der Parabel f(x)=4x-x² und der x-Achse halbiert.


    Meine Ansätze:


    Zunächst bestimme ich die Nullstellen der Parabel:


    Da erhalte ich x=0 v x=4


    Dann errechne ich mir den halben Flächeninhalt der Fläche, die durch die Urpsrungsgerade halbiert werden soll:


    A= Integral von f(x)dx von 0 bis 4 = [2x² - 1/3*x³] von 0 bis 4


    ==> A = 32/3


    ==> A/2 = 16/3


    Gesucht ist eine Grade (nennen wir sie g(x)) durch den Ursprung (d.h. mit der Form y=m*x) die das Integrad von f(x)dx halbiert.


    ==> Integral von [f(x) - g(x)]dx von 0 bis 4 = 16/3 (A/2)


    Integral von [4x-x²-mx]dx von 0 bis 4 = 16/3


    bzw. ==> [2x² - 1/3*x³ - 1/2*m*x²] von 0 bis 4 = 16/3



    Da war auch der Punkt erreicht an dem ich mir nicht mehr sicher war.


    Weiter bin ich :


    [2x² - 1/3*x³ - 1/2*m*x²] von 0 bis 4 = 16/3


    für x -> 4 eingesetzt (bzw. term(4) - term(0) --> wobei letzteres wegfällt)


    32-64/3 - 8*m = 16/3


    nach m auflösen:


    m = 2/3 ==> g(x) = 2/3*x


    Schnittpunkt der Graphen errechnen:


    g(x) = f(x)


    2/3*x = 4x- x²


    x=0 v x=10/3



    Frage: Stimmt das? :D




    Gesucht ist m bzw die Stelle x an der sich die beiden Graphen schneiden.
    Also ist eine notwendige Bedingung:


    f(x) = g(x) (Am Schnittpunkt)


    4x-x²=mx ==> 4-x = m


    Das eingesetzt in die obere gleichung: