Abstand zweier Funktionen

  • Guten Abend miteinander :)
    Ich bräuchte mal ein wenig Hilfe mit einer Aufgabe in Mathe, die mir n bisschen Kopfschmerzen bereitet. Es handelt sich dabei um folgendes:
    Gegeben ist eine lineare Funktion f(x) und eine beliebige Funktion g(x), die sich in keinem Punkt berühren. Es soll ermittelt werden, wo der geringste Abstand zwischen beiden Funktionen besteht und dessen Wert.
    Ansätze die ich bereits mit Hilfe erarbeitet habe:
    f(x)=x-1 f(x)'=1
    g(x)=x² g(x)'=2x
    0=(g(x)-f(x))'
    0=2x-1
    x=0,5
    Demnach wäre der Punkt, an dem der geringste Abstand besteht bei 0,5 .
    Allerdings glaube ich, dass die Rechnung nicht wirklich lohnenswert und auch falsch ist. Ich habe nämlich weitere szenarien durchprobiert, wo diese rechnung nicht richtig ist.
    Ich habe dann nochmal mit meinem Lehrer gesprochen und er hat mir einen weiteren Ansatz gegeben, den ich leider nicht nachvollziehen kann.
    Die lineare Funktion f(x) soll soweit an die Funktion g(x) angenähert werden, bis f(x) eine Tangente von g(x) wird. Dabei soll dann mithilfe der Gleichung f(x)'=m1 der x-wert von einem Punkt P auf der Funktion g(x) ermittelt werden (und zwar an der Stelle, an der man den geringsten Abstand vermutet). Weiterhin soll dann der y-wert ermittelt werden.
    Um den Wert des Abstands zu ermitteln soll eine Senkrechte durch den Punkt P und einen weiteren Punkt(P2), der parallel zu P auf g(x) liegt.


    Einerseits hilft mir dieser Ansatz kaum weiter, weil ich ihn nicht verstehe bzw. bisher auf kein Ergebnis gekommen bin.
    Gibt es da irgendeinen Denkfehler? Oder ist der komplette Ansatz falsch und die Aufgabe muss ganz anders angegangen werden?

  • f(x) = x - 1; Anstieg f'(x) = 1
    g(x) = x², Anstieg g'(x) = 2x. Wo parallel f: g'(x) = f'(x); 2x = 1, x = 1/2. Also im Punkt P(1/2; 1/4) hat g(x) eine zu f parallele Tangente.
    Durch P eine Senkrechte (Normale) h(x) = - x + 3/4 [extra Thema]


    Wo schneidet h(x) = f(x) -> x = 7 / 8, also Punkt Q(7/8; -1/8 )
    PYTHAGORAS: Abstand
    PQ = wurzel[(7/8 - 1/2)² + (-1/8 - 1/4)²] = 3 wurzel(2) / 8


    mfG F