Höhe in einem dreieck berechnen

  • Hallooo.
    Also ich hab in Mathe diese aufgabe :


    Finde eine Formel mit der man die Höhe IMMER berechnen kann.


    bei google + anderen foren hab ich mir schon was durchgelesen, ich fnde aber nur die formel "h²=p * q "
    und die ist ja nur für rechtwinklige dreiecke oder?
    weil bei mir klappt diese formel nicht bei jedem .. wäre nett.

  • Du hast Glück: Das habe ich irgendwann mal selber untersucht und es gibt tatsächlich eine "elementare" Lösung, d.h. ohne sin, cos usw.


    Du hast Pech: Die Herleitung ist saumäßig kompliziert und lang, deswegen schreibe ich nur Zwischenschritte auf, den Rest musst du selber rechnen. Für die Höhe auf c sieht sie so aus, bei den anderen entsprechend vertauscht.


    Die Teilstrecke von c unter a nenne ich pa und die Teilstrecke unter b nenne ich pb. Dann ergeben sich die Gleichungen
    b^2 = pb^2 + h^2 und a^2 = pa^2 + h^2 , denn die Höhe ist ja immer senkrecht.
    Aus der ersten Gleichung ergibt sich pb = Wurzel(b^2 - h^2)
    Aus der zwiten Gleichung ergibt sich h^2 = a^2 - (c-pb)^2 , denn pa = c-pb
    Dann setzt du die erste Gleichung in die zweite ein, löst das Quadrat (bin. Formel) und die Klammer auf und dann fällt das h^2 weg, aber in der Wurzel steht es noch, so dass du die Gleichung
    -2c*Wurzel(b^2-h^2) = a^2-c^2-b^2 jetzt nach h^2 auflösen musst. Dann kommt da
    h^2 = - ((c^2+b^2-a^2)/2c)^2 + b^2 raus
    Jetzt kann man das Quadrat noch auflösen und die ganzen Terme über mehrere Schritte anders zusammenfassen und dann kriegst du (vielleicht) raus:
    h^2 = (a*b/c)^2 – ( (c^2-(a^2+b^2)) / 2c ) ,
    wobei der hintere Teil beim rechtwinkligen Dreieck wegfällt, weil dann c^2-(a^2+b^2) = 0 ist.
    Das heißt übrigens, dass man auch im rechtwinkligen Dreieck nicht unbedingt p und q für die Höhe braucht, denn aus der Flächenberechnung
    A = a*b/2 = c*hc/2 (mit c = Hypothenuse) ergibt sich
    hc = a*b/c


    Gruß Dörrby

  • Falls(!) es um die Berechnung einer Höhe (z.B. hc) aus den gegebenen Dreiecksseiten geht: Kosinussatz: cos alpha = (b² + c² - a²) : 2bc = c1 : b und hc² = b² - c1² -> hc² = b² - (b² + c² - a²) : (2c)².