Analysis Tiefpunkte Hochpunkte Sattelpunkt Wendepunkte Ableitungen

Das ist eine typische Textaufgabe, nur eben auf Oberstufen-Niveau. Reihenfolge: Übersetzen von Realität in Mathe, in Mathe berechnen, Ergebnis zurück übersetzen.

a) Durchschnittliche Zunahme: Endwert minus Anfangswert und das geteilt durch die Anzahl der Tage.
Wichtig hier ist die Angabe t=1 entspr. 1. Tag 12:00 Uhr, d.h. 1.Tag 0:00 Uhr ist t=0,5 und 4.Tag 24:00 Uhr ist t=4,5. Damit ergibt sich ein Durchschnitt von ca. 64 Bäumen pro Tag.

b) momentane Zunahme: Steigung (= 1. Ableitung).
2.Tag 12:00 Uhr entspr. t=2. Ich bekomme da 39,6 raus.

c) Hier stellt sich für mich zum ersten Mal die Frage, welche Hilfsmittel ihr zur Verfügung habt und wie genau die Lösungswege sein sollen. Die Gleichung 3. Grades
[TEX]500 = \frac{277}{144} t^3 + \frac{593}{144} t^2 + 11[/TEX]
allgemein zu lösen ist auch mit Lösungsformel anspruchsvoll. Ich habe einfach in 0,5-er-Schritten weiter eingesetzt und festgestellt, dass die 500 zwischen t=5,5 (6.Tag 0:00 Uhr) und t=6 (6.Tag 12:00 Uhr) überschrtten wird.

d) Der Graph hört ja bei t=20 auf, also musst du mit der Formel weiter arbeiten. Habt ihr einen Taschenrechner, der Nullstellen bestimmen kann? - Ansonsten müsstest du t-Werte ausprobieren oder mit dem Newton'schen Näherungsverfahren arbeiten.
Das geht so: Du wählst einen Schätzwert [TEX]t_0[/TEX] in der Nähe der Nullstelle und berechnest [TEX]t_1 = t_0 - \frac{f(t_0)}{f'(t_0)}[/TEX], entsprechend auch t2, ggf. t3 und t4, dann müsste der Wert schon sehr genau sein, außer wenn f' dort auch =0 ist.
Das ist hier der Fall, aber man sieht trotzdem , dass es nach t=24 läuft.

e) 80% = 400 Bäume, dementsprechend Newton-Näherung [TEX]t_1 = t_0 - \frac{f(t_0)-400}{f'(t_0)}[/TEX] mit Startwerten z.B. 7 und 15.
Es kommen die Werte 7,65 und 15,35 raus, d.h. 7,7 Tage lang über 80% befallen.

f) Das ist eine normale Maximum-Bestimmung mit f'(t)=0 , wieder mit dem Problem einer Gleichung 3. Grades. Also wende ich die Newton-Näherung (Startwert z.B. 11) auf f' an:
[TEX]t_1 = t_0 - \frac{f'(t_0)}{f''(t_0)}[/TEX] und erhalte 11,5.

Den Rest probier mal selber...