Von der Binomial- zur Multinomialverteilung (Polynomialverteilung)

Hallo,

tut mir leid, ich war in Urlaub. Daher kommt die Antwort etwas später.

Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Personen genau 4 mal die Blutgruppe A anzutreffen ist

[TEX]\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,43^4[/TEX]

Dies dürfte aus der Beschäftigung mit der Binomialverteilung noch klar sein.

Die Wahrscheinlichkeit unter den übrig gebliebenen 6 Personen genau 4 mal auf Blutgruppe 0 zu stoßen ist

[TEX]\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,41^4[/TEX]

Bleiben noch die Blutgruppen B

[TEX]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,11^1[/TEX]

und AB

[TEX]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,05^1[/TEX]

Alles zusammen ist das

[TEX]\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,43^4\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,41^4\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,11^1\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,05^1[/TEX]

Etwas umsortiert wird daraus

[TEX]\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,43^4\cdot0,41^4\cdot 0,11^1\cdot 0,05^1[/TEX]

Schaut man sich die Definition der Binomialkoeffizienten an und schreibt sie als Brüche, kann man auch schreiben

[TEX]\dfrac{10!}{4!\cdot 4!\cdot 1!\cdot 1!}\cdot 0,43^4\cdot0,41^4\cdot 0,11^1\cdot 0,05^1[/TEX]

Eine Formel dieser Art findet man auch bei wikipedia unter Multinomialverteilung.

Die Auswertung dieses Ausdrucks kann man mit google machen.
Die Eingabe von

0,43^4*0,41^4*0,11*0,05*10!/(4!*4!)

bringt das Ergebnis

0.03347437585

also 3,35%

Ich habe zur Sicherheit dieses Problem auch mit einem Java-Programm simuliert. Es kommt das gleiche Ergebnis raus.
Wenn jemand Interesse daran hat, kann ich ja den Programm-Code auch hier reinstellen.

Viele Grüße
Lord Nobs