Hi 
Ich habe ein Problem mit der Berechnung der Untersumme des Parabelastes f(x)=x²; [0;1]. n soll dabei gegen Unendlich gehen.
Ich bin bis zu folgenden Punkt gekommen:
U=1/n³*(0+1+4+9+...+(n-1)²)
Allerdings weiß ich nicht, wie ich nun weiter machen soll...
Wäre über Hilfe sehr verbunden und schonmal danke.
Hallo,
bei wikipedia habe ich folgende Formel gefunden, die man hier anwenden kann:
Viele Grüße
Lord Nobs
Deine Vorgehensweise ist bis dahin richtig.
Zur Erinnerung: Die Anzahl der Streifen sei n. Die Streifenbreite ist dann 1/n.
Die Untersumme aus den Rechteckstreifen berechnet sich demnach:
[TEX]\frac{1}{n}*[(\frac{1}{n})^2 +(\frac{2}{n})^2+(\frac{3}{n})^2 + ...\frac{(n-1)^2}{n^2}][/TEX]
Umgeformt zu:
[TEX]\frac{1}{n^3}*[1 + 4 + 9 ... (n-1)^2][/TEX]
In der eckigen Klammer steht nichts anderes als die Summe der Quadratzahlen, die nach folgender Formel berechnet wird:
[TEX]S_n = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/TEX]
Folglich erhält man als Untersumme U:
[TEX]U = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6n^3} =\frac{(n+1)*(2n+1)}{6n^2} = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2}[/TEX]
Umgeformt zu:
[TEX]U = \frac{2n^2}{6n^2}+\frac{3n}{6n^2}+\frac{1}{6n^2}[/TEX]
Das ist:
[TEX]U = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}[/TEX]
Wenn du nun die Anzahl der Streifen größer und größer werden lässt (damit werden die einzelnen Streifen schmaler und schmaler!) dann strebt n --->oo.
In der Summenformel für U streben die beiden letzten Brüche gegen Null, denn ihre Nenner wachsen über alle Grenzen.
So bleibt als gesuchte Fläche unter dem Parabelast zwischen den vorgegebenen Grenzen die Fläche: A = 1/3 FE
