H-Ableitung Differenzialrechnung

Du musst hier folgendermaßen vorgehen:

Gesucht ist die Tangentensteigung im Punkt x0 = 2.

Vorab bestimmst du die Sekantensteigung und lässt danach h kleiner und kleiner werden, d. h, h strebt gegen Null.

Die Sekantensteigung bestimmst du zwischen den Punkten P mit den Koordinaten [TEX](x_0 / \frac{9}{{x_0}^2}[/TEX] und Q [TEX](x_0+h / \frac{9}{(x_0+h)^2})[/TEX]

Die Sekantensteigung:

[TEX]m = \frac{\frac{9}{{(x_0+h)}^2} -\frac{9}{x_0^2}}{x_0+h - x_0}[/TEX]

[TEX]m = (\frac{9}{(x_0+h)^2} - \frac{9}{x_0^2})*\frac{1}{h}[/TEX]

[TEX]m = \frac{9}{h(x_0+h)^2} - \frac{9}{hx_0^2}[/TEX]

[TEX]m = \frac{9x_0^2 -9(x_0+h)^2}{hx_0^2(x_0+h)^2}[/TEX]

[TEX]m = \frac{9x_0^2 - 9x_0^2 -18x_0h -9h^2}{hx_0^2(x_0+h)^2}[/TEX]

[TEX]m = -\frac{18x_0h}{hx_0^2(x_0+h)^2} -\frac{9h^2}{hx_0^2(x_0+h)^2}[/TEX]

Kürzen!

[TEX]m = -\frac{18}{x_0(x_0+h)^2} - \frac{9h}{x_0^2(x_0+h)^2}[/TEX]

Jetzt nimmst du den Übergang von der Sekantensteigung zu Tangentensteigung vor, indem du h ---> gegen Null streben lässt.

Damit wird der zweite Bruch (9*h = 9*0) Null.

Der erste Bruch wird zu:

[TEX]f'(x_0) = -\frac{18}{x_0^3}[/TEX]

Das ist die Ableitung der gegebenen Funktion an der Stelle x0.

Wenn du in diese Ableitungsfunktion für x0 = 2 einsetzt, bekommst du die Tangentensteigung an der Stelle x0 = 2 oder die erste Ableitung an der Stelle x0 = 2.

[TEX]f'(2) = -\frac{18}{2^3} = -\frac{18}{8} = -2,25[/TEX]

Ich hoffe, du kannst die Rechnung nachvollziehen!