Bestimmen quadratischer Funktionsterme

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Bei der o. g. Aufgabe geht es um die Erstellung einer quadratischen Funktionsgleichung aus vorgegebenen Werten.

Die allgemeine quadratische Funktionsgleichung lautet f(x) = ax² + bx + c

Hier sind die Koeffizienten a, b und c zu bestimmen.

Ein Extremwert (Minimum oder Maximum) liegt von, wenn die erste Ableitung Null wird.

Die erste Ableitung davon: f'(x) = 2ax + b

Gegeben ist der Punkt P1 (50/0); P2 (150/60 000)

1. Gleichung: 0 = 2500*a + 50b + c
2. Gleichung: 60 000 = 22 500*a + 150b +c
3. Gleichung: 0 = 2*150*a + b

Dieses lineare Gleichungssystem ist zu bestimmen:

Aus Gleichung 2 minus Gleichung 1 folgt: 60 000 = 20 000*a + 100 b

Gleichung 3: 0 = 300*a + b

Einsetzungsverfahren: b = - 300a

60 000 = 20 000a + 100*(-300a)

60 000 = 20 000a - 30 000a

60 000 = - 10 000 a

a = - 6

b = -300 a

b = 1 800

0 = 2 500*(-6) + 50*(1 800) + c

0 = -15 000 + 90 000 + c

c = -75 000

Oder: 60 000 = 22 500*(-6) + 150 * 1 800 + c

60 000 = -135 000 + 270 000 + c

c = -75 000

Die gesuchte quadratische Gleichung lautet: f(x) = -6x² + 1 800x - 75 000

Probe: P1 (50/0)
P2 (150/60 000)