Vekorrechnung

Unregistriert

Hey Leute ich muss Mathe machen hab aber kein durchblick wie das gehen soll Smile

Geg: A (-1;3;2) , B (0;-4;5) , C (6;-1;3)

1. Geben Sie eine Gleichung der Geraden g durch die Punkte A und B an un zeigen sie dass C nicht auf g liegt.

Meine Lösung:
g(x) = x*(-1;7;-3) + (-1;3;2)

Hoffe das ist richtig...

Aber ich weiß nicht wie ich das mit C angeben muss Smile

1.1 Aus Aufgabe 1 folgt , dass die gegebenen Punkte ABC ein Dreieck bilden. Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Seite (AB) und die Größe des Winkels Im Punkt C.

Diese Aufgabe versteh ich nicht Sad

1.2 Die Punkte A;B;C und ein weiterer Punkt D bilden das Parallelogram ABCD.
Geben Sie einen Ansatz für die Bestimmung der Koordinaten des Punktes D an.

Ich danke schonmal für eure Hilfe Smile

MfG Felix

HarryPotter

Hallo Felix,

deine Geradengleichung ist korrekt. Um zu nachzuprüfen, ob C auf dieser Gerade liegt, setzt du diesen Punkt einfach anstatt [TEX]g(x)[/TEX] ein. Anschließend betrachtest du diese Gleichung für alle drei Koordinaten. Das liefert dir die drei Gleichungen

[TEX]\begin{aligned}6 &= -x - 1\\-1 &= 7x + 3\\3 &= -3x + 2\end{aligned} \Leftrightarrow \begin{aligned}x &= -7\\x &= -\tfrac{4}{7}\\x &= -\tfrac{1}3{}\end{aligned}[/TEX].

Dieses Gleichungssystem hat also keine Lösung (wenn es eine Lösung hätte, würde für alle drei Gleichungen ein und derselbe Wert für x herauskommen). Also kann C nicht auf der Gerade liegen.

Aufgrund dieses Ergebnisses ist klar, dass die Punkte A, B und C ein Dreieck bilden (drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen, bilden einfach ein Dreieck). Die Länge der Seite AB ist der Betrag des Vektors [TEX]\vec{AB}[/TEX], der von A nach B führt, also der Betrag der Differenz der Ortsvektoren von A und B:

[TEX]|\vec{b} - \vec{a}| = \left|\begin{pmatrix}0\\-4\\5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\right| = \left|\begin{pmatrix}1\\-7\\3\end{pmatrix}\right| = \sqrt{1^2 + (-7)^2 + 3^2} = \sqrt{59}[/TEX].

Den Winkel im Punkt C kannst du mit Hilfe des Skalarproduktes bestimmen. Dazu berechnest du auch noch die Vektoren [TEX]\vec{CA}[/TEX] und [TEX]\vec{CB}[/TEX] sowie deren Beträge analog wie wir das gerade für [TEX]\vec{AB}[/TEX] getan haben und wendest die Formel

[TEX]\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos \gamma[/TEX]

an, wobei [TEX]\gamma[/TEX] der gesuchte Winkel ist.

Den Punkt D kannst du schließlich bestimmen, indem du den den Vektor [TEX]\vec{CA}[/TEX] zum Ortsvektor von B addierst (oder den Vektor [TEX]\vec{CB}[/TEX] zum Ortsvektor von A).

Hoffe dass dir das weiterhilft.

lg

Unregistriert

Danke für deine Hilfe

1.
Das hab ich alles jetzt verstanden danke

1.1

AB = (0;-4;5) - (-1;3;2) = (1;-7;3) = Wurzel 59 = 7.68 LE

Ist das so die Länge von AB?

Mit dem Winkel da versteh ich nicht was du mit analog meinst

1.2
Denke ich hab ich verstanden

CA + (0;-4;5) zum beispiel oder?

HarryPotter

Hallo,

Zitat von Unregistriert

1.1

AB = (0;-4;5) - (-1;3;2) = (1;-7;3) = Wurzel 59 = 7.68 LE

Ist das so die Länge von AB?

Also, [TEX]\vec{AB}[/TEX] ist der Vektor, der von A nach B führt. Sein Betrag ist die Länge der Seite AB, also ungefähr 7,68 Längeneinheiten.

Zitat von Unregistriert

Mit dem Winkel da versteh ich nicht was du mit analog meinst

"Analog" heißt "auf dieselbe Art und Weise". Du berechnest beispielsweise den Vektor [TEX]\vec{CA}[/TEX], indem du den Ortsvektor von A vom Ortsvektor von C subtrahierst. Anschließend berechnest du den Betrag von [TEX]\vec{CA}[/TEX], indem du die einzelnen Koordinaten quadrierst die Quadrate addierst und aus dem ganzen die Wurzel ziehst (genau wie oben). Dasselbe erledigst du für den Vektor [TEX]\vec{CB}[/TEX] und hast so alle Vektoren und Skalare, die du für die Formel mit dem Skalarprodukt und dem Kosinus benötigst.

Zitat von Unregistriert

1.2
Denke ich hab ich verstanden

CA + (0;-4;5) zum beispiel oder?

korrekt.

Unregistriert

Zitat von HarryPotter

"Analog" heißt "auf dieselbe Art und Weise". Du berechnest beispielsweise den Vektor [TEX]\vec{CA}[/TEX], indem du den Ortsvektor von A vom Ortsvektor von C subtrahierst. Anschließend berechnest du den Betrag von [TEX]\vec{CA}[/TEX], indem du die einzelnen Koordinaten quadrierst die Quadrate addierst und aus dem ganzen die Wurzel ziehst (genau wie oben). Dasselbe erledigst du für den Vektor [TEX]\vec{CB}[/TEX] und hast so alle Vektoren und Skalare, die du für die Formel mit dem Skalarprodukt und dem Kosinus benötigst.

Also ich hab jetzt für CA 8,1 LE und CB 7 LE

Aber muss ich nicht die Formel nach cos y umstellen?

Weil 8,1 LE x 7 LE x cos y geht ja nicht weil ich kein y habe...

HarryPotter

Zitat von Unregistriert

Also ich hab jetzt für CA 8,1 LE und CB 7 LE

Lass mal sehen: [TEX]\vec{CA} = (-7; 4; -1)[/TEX], also [TEX]|\vec{CA}| = \sqrt{49 + 16 + 1} = \sqrt{66} \approx 8,12 [/TEX] und [TEX]\vec{CB} = (-6; -3; 2)[/TEX], also [TEX]|\vec{CB}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 [/TEX]. Stimmt.

Zitat von Unregistriert

Aber muss ich nicht die Formel nach cos y umstellen?

Weil 8,1 LE x 7 LE x cos y geht ja nicht weil ich kein y habe...

Du musst die Formel nach [TEX]\gamma[/TEX] umstellen:

[TEX]\gamma = \arccos\left(\frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|}\right)[/TEX]

wobei man manchmal statt [TEX]\arccos[/TEX] auch [TEX]cos^{-1}[/TEX] schreibt. Jetzt musst du nur noch die beiden Vektoren und die beiden Beträge von oben einsetzen, das Skalarprodukt im Zähler berechnen

[TEX]\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 42 - 12 - 2 = 28[/TEX],

den Bruch berechnen und am Ende den Kosinus umkehren. Als Ergebnis müsste dann [TEX]\gamma \approx 60,5°[/TEX] herauskommen

Unregistriert

Danke für deine Hilfe hat mir echt sehr geholfen!
Jetzt versteh ich das ganze auch

Vekorrechnung

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