Eigenschaften von Zahen

    Könnt mir jemand helfen?

    Eine nat¨urliche Zahl z sei im dekadischen Positionssystem geschrieben 100-stellig,
    z = x1x2 . . . x100, x1 ungleich 0

    und besitze folgende Eigenschaften (i) und (ii):
    (i) Die Ziffern x1, x2, . . . , x100 bilden eine monoton fallende Folge,
    9 x1 x2 · · · x100.
    (ii) Quersumme und Querprodukt von z stimmen ¨uberein,
    x1 + x2 + · · · + x100 = x1 · x2 · · · · · x100.

    a) Man zeige, dass die Dezimaldarstellung von z mindestens 93 Einsen enth¨alt.
    b) Man bestimme alle Zahlen z mit den angegebenen Eigenschaft Danke im Vorraus

    Quersumme:
    QS:=x1+ ... +x100 <= 9*100=900

    d.h.
    QP:=x1*x2* ... * x100 <= 900

    1) es ex. ein j mit xj=0 => QP=0 => QS=0 (nach (ii) )
    dies ergibt einen Widerspruch zur Voraussetzung x1>0
    d.h. xj>0 für alle j=1 .. 100

    2) Überlegungen:
    QP=2^10*1^90=1024
    => mindestens 91 Einsen da QP <= 900 (siehe oben)
    Man zeige, dass für 9 Ziffern >1 keine Lösung im Sinne (ii) existiert:
    QP=2^9*1^91
    QP=3*2^8*1^91
    QP=3^2*2^7*1^91
    QP=4*2^8*1^91

    Man zeige außerdem, dass für 8 Ziffern >1 keine Lösung im Sinne (ii) existiert!

    Damit sind höchstens 7 Ziffern >1 und mindestens 93 Ziffern =1.

    Vielleicht hilft dies schon mal :)