Oft verbreitet sich ein Computervirus
innerhalb weniger Wochen
weltweit
und infiziert Millionen Computer.Durch geeignete Antivirensoftware
gelingt es jedoch meist schnell,
die infizierten Computer
vom Virus zu befreien.Die Differenz zwischen
der Anzahl der täglich neu infizierten
und bereinigten Computer
ist die Änderungsrate der befallenen Computer,
die in Bild 62/1 dargestellt ist.
a) Interpretieren Sie
den zeitlichen Verlauf
der Änderungsrate.
Nach rund 35 Tagen
hat sich die Zahl der befallenen Computer
um 10.000 geändert.
Nach 80 Tagen
hat sich die Zahl der befallenen Computer
um 28.000 geändert.
100.000 - 72.000 = 28.000
100.000 Computer wurden infiziert,
davon wurden jedoch 72.000 bereinigt.
Die Zahl der befallenen Computer hat sich also
um 28.000 geändert. (Vergrößert).
Das war am achzigsten Tag.
Nach 120 Tagen
werden genau so viele Computer infiziert
wie sie bereinigt werden.
Und darauffolgend später
werden mehr Computer bereinigt
als neu infiziert.
c) Bestimmen Sie eine Funktion,
die es Ihnen erlaubt,
die Anzahl der infizierten Computer
für beliebige Zeiten zu berechnen.
Man könnte jetzt erstmal gedanklich
den Graphen tagweise durchgehen.
Zum Beispiel bis Tag 20.
Jeden Tag erhöht sich die Anzahl
der infizierten Computer.
Wenn ich einen konkreten Tag herausnehme
dann ist das ein Strich von der x-Achse
bis zum Graphen.
Alle diese Striche addiert
ergeben eine Fläche.
In meinem Fall in den Grenzen von 0 bis 20.
Dazu also die Integralrechnung.
Also folgende Formel:
[TEX]\int^{20}_0 - \dfrac{1}{10.000}x^3 + \dfrac{3}{250}x^2 \ dx[/TEX]
Bilde das Integral der Funktion nach dx
in den Grenzen von 0 bis 20.
Dazu muss von der Funktion
die Stammfunktion gebildet werden.
Auch das ist nicht so schwierig:
[TEX]F(x) =- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{3+1}}{3+1} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{2+1}}{2+1}[/TEX]
[TEX]F(x) =- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{3}}{3}[/TEX]
Und ich darf auch
anstatt der Formel mit dem Integralzeichen,
das Gleiche mit der Stammfunktion ausdrücken:
[TEX]\left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{3}}{3} \right ]^{20}_0[/TEX]
In meinem gewählten Beispiel wäre das also:
[TEX]\int^{20}_0 f(x) \ dx = \left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{20^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{20^{3}}{3} \right ] - \left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{0^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{0^{3}}{3} \right ][/TEX]
[TEX]\int^{20}_0 f(x) \ dx = [-4 +32] - [0][/TEX]
[TEX]
\int^{20}_0 f(x) \ dx = 28[/TEX]
Nach 20 Tagen
wären also 28.000 Computer infiziert.
Die allgemeine Formel lautet also:
[TEX]\int^{n}_0 - \dfrac{1}{10.000}x^3 + \dfrac{3}{250}x^2 \ dx = \left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{3}}{3} \right ]^{n}_0[/TEX]
b)
Beschreiben Sie durch eine Skizze
den zeitlichen Verlauf
der Anzahl der aktuell infizierten Computer
Ich nehm aktuell mit 120 Tagen an
und ich beschreib es durch ein Diagramm.
Die exakten Werte:
[table='width: 400, class: grid, align: left']
[tr][td]Zeit in Tagen
[/td][td]Anzahl infizierter Computer in Tausend
[/td][/tr][tr][td]20
[/td][td]28
[/td][/tr][tr][td]40
[/td][td]106
[/td][/tr][tr][td]60
[/td][td]540
[/td][/tr][tr][td]80
[/td][td]1.024
[/td][/tr][tr][td]100
[/td][td]1.500
[/td][/tr][tr][td]120
[/td][td]1.728
[/td][/tr]
[/table]
