Funktionen und Koordinatengeometrie

Also, an alle Mathe Profis da draußen, ich brauche eure Hilfe, sehr dringend.
Ich bin in der 11 Klasse, und wir wiederholen das Thema Funktionen und Koordinatengeometrie, und eigentlich kam ich mit diesem Thema ja immer klar, nur verstehe ich meine (neue) Lehrerin nicht, sie ist Russin und kann kaum Deutsch.. und für Leute die sowieso Probleme mit Mathe haben ist das ziemlich blöd.
Laut einer sicheren Quelle *hust* kenne ich eine Aufgabe aus der Klausur, nur klappt es nicht so wirklich, ich verstehe nicht was ich machen soll, deswegen brauche ich Hilfe von irgendeinem netten User da draußen.

Das ist die Aufgabe:

Berechnung eines besonderen Schnittpunktes am Dreieck
Zeige, dass sich bei dem Dreieck mit A(1|4), B(9|0), C(10|7) die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt M schneiden. Berechne dessen Koordinaten. Weise nach, dass die Strecken AM, BM, CM gleich lang sind. Interpretiere das Ergebnis.
(Vorallem das interpretieren bereitet mir sorgen..)

Es wäre wirklich sehr sehr nett wenn mir jemand helfen könnte, ich kann mir unter dieser Aufgabe nämlich rein gar nichts vorstellen, ich bin sonst eigentlich ziemlich verloren..

Auf jeden Fall solltest du das Ganze auch zeichnen, damit es für dich selbst anschaulicher wird und du später deine Ergebnisse kontrollieren kannst.
Eine Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte durch die Mitte einer Strecke / Dreiecksseite, d.h. du musst jeweils den Mittelpunkt der Strecke bestimmen und die Gleichung der senkrechten Gerade dadurch aufstellen.

Bestimmung Mittelsenkrechte zu a = Strecke BC (die anderen beiden gehen genauso):
Mitte zwischen B und C -> mittlerer x-Wert und mittlerer y-Wert (9,5|3,5). Wenn du es rechnerisch brauchst: (9+10)/2 = 9,5 und (0+7)/2 = 3,5
Eine Gerade/Strecke durch B und C hat die Steigung m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (7 - 0)/(10 - 9) = 7
Eine Senkrechte dazu hat die Steigung m2 = -1/m1 = -1/7
Mit der allgemeinen Geradengleichung, dem Mittelpunkt und der Steigung bestimmst du b:
y = m * x + b
3,5 = -1/7 * 9,5 + b = -19/14 + b |+19/14
b = 49/14 + 19/14 = 4 6/7
-> y = -1/7 x + 4 6/7

Bestimmung von Punkt M
Mittelsenkrechte zu c = Strecke AB : y = 2x - 8
Terme der beiden Mittelsenkrechten gleichsetzen:
-1/7 x + 4 6/7 = 2x - 8 |+1/7 x +8
12 6/7 = 90/7 = 2 1/7 x = 15/7 x |*7/15
x = 6
In eine Gleichung (egal welche, sinnvoll: die einfachere) einsetzen:
y = 2*6 - 8 = 4 -> M(6|4)

Nachweis, dass sich alle im selben Punkt schneiden:
a) Mittelsenkrechte zu b bestimmen, prüfen, ob M auf der Geraden liegt, d.h. x=6 einsetzen und gucken, ob y=4 rauskommt
b) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu b mit der Mittelsenkrechten zu a (oder c) berechnen -> muss auch (6|4) rauskommen

Strecken AM, BM, CM: Abstandberechnung mit Pythagoras, Beispiel CM:
d = Wurzel( (x1 - x2)² + (y1 - y2)² ) = Wurzel( (10 - 6)² + (7 - 4)² ) = 5

Interpretation: Wenn mehrere Punkte gleichweit von einem Punkt M entfernt sind, liegen sie auf einer Kreislinie um den Punkt M.

Gruß Dörrby