Spiegelung an einer Geraden und an einer Ebene. HILFE!!!!!!!

Hallo,

du hast bei der Aufgabe a) den Vektor von P nach Q berechnet und den auf Q addiert. Du bist also von P in Richtung Q gegangen und dann in der gleichen Richtung noch einmal um die gleiche Strecke weiter. Sehr gut.

Bei b) und c) geht es im Prinzip genau so, nur ist hier der Punkt Q nicht gleich gegeben. Wir müssen ihn erst finden.

b) Gesucht ist der Punkt Q auf der Geraden x, der von P den geringsten Abstand hat. In der Geometrie hieß das Lot fällen. Der Vektor von P nach Q steht senkrecht auf der Geraden x.

Eine Möglichkeit den Punkt Q zu finden ist, den Wert von r zu bestimmen für den x-P ein Minimum hat. Dazu muss man hiervon den Betrag berechnen und die Funktion nach r ableiten...

Mit dem gefundenen Wert für r haben wir auch den punkt Q. Dann geht es weiter wie bei a) P'=2Q-P

c) Jetzt gilt es den Punkt Q auf der Ebene zu finden, der zu P den geringsten Abstand hat. Hier können wir sagen, dass die Richtung von P nach Q die Richtung des Normalvektors der Ebene E ist. Dieser steht ja senkrecht auf der Ebene (Lot fällen, siehe oben).

Wenn wir die Richtung haben, brauchen wir nur noch den Abstand vom Punkt P zur Ebene E. Bei Abstand klingelt bei mir immer der Begriff Hessesche Normalform.

Mit der Richtung und 2 mal dem Betrag des Abstands kommt man dann wieder zu P', wie bei a).

Viele Grüße
Norbert

Hallo,

ich habe die b) mal durchgerechnet.

Der Vektor vom Punkt P zu einem Punkt auf der Geraden x ist:

[TEX]x-\vec{P}=
\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}+
r\cdot \begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}5\\9\\12\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}3r-5\\2r-8\\-2r-7\end{pmatrix}
[/TEX]
Er ist von r abhängig.
Sein Betragsquadrat berechnet sich so:
[TEX]|x-\vec{P}|^2=f(r)=(3r-5)^2+(2r-8)^2+(-2r-7)^2[/TEX]

[TEX]f(r)=17r^2-34r-138[/TEX]
Das ist natürlich auch eine Funktion von r.
Zur Bestimmung des Minimums bilde ich die 1. Ableitung. Das Betragsquadrat hat an der gleichen Stelle ein Minimum wie der Betrag. Darum spare ich mir die Wurzel.
[TEX]f'(r)=34r-34=0[/TEX]
Daraus folgt für den Parameter r:
[TEX]r=1[/TEX]
Jetzt habe ich den gesuchten Punkt Q.
[TEX]\vec{Q}=
\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}+
1\cdot \begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}
[/TEX]
Das Spiegelbild von P berechne ich dann wie bei der Aufgabe (a:
[TEX]\vec{P'}=2\vec{Q}-\vec{P}=
2\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}5\\9\\12\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1\\-3\\-6\end{pmatrix}
[/TEX]

Viele Grüße
Lord Nobs

Hallo,

und weil es so schön war, kommt jetzt auch noch die c)

Punkt P und P' liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Ebene E. Ihre Verbindungslinie steht senkrecht auf dieser Ebene und der Abstand der beiden Punkte zur Ebene ist gleich. All das folgt aus dem Begriff Spiegelbild.

Senkrecht auf der Ebene steht der Normalenvektor. Seine Komponenten sind einfach die Koeffizienten aus der Ebenengleichung.

[TEX][/TEX]
[TEX]\vec{N}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}[/TEX]

Zur Berechnung des Abstands mit der Hesseschen Normalform brauchen wir aber einen Normaleneinheitsvektor. Das ist ein Normalenvektor mit dem Betrag 1. Unser Vektor hat aber den Betrag

[TEX]|\vec{N}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}[/TEX]

Dividieren wir unseren Vektor durch seinen Betrag erhalten wir den gewünschten

[TEX]\vec{N_0}=\dfrac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\dfrac{\vec{N}}{\sqrt{6}}[/TEX]

Außerdem benötigen wir noch einen beliebigen Punkt der Ebene E. Wenn wir einfach in der Ebenengleichung einsetzen [TEX]y=z=0[/TEX] bleibt übrig [TEX]x=4[/TEX].

[TEX]\vec{E}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}[/TEX]

ist also ein Punkt auf der Ebene E.

Der Abstand vom Punkt P zur Ebene E ist dann

[TEX]d=\vec{N_0}\cdot (\vec{E}-\vec{P})[/TEX]

[TEX]d=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{6}}\cdot
\left(\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\9\\12\end{pmatrix}\right)[/TEX]

[TEX]d=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-9\\-12\end{pmatrix}}{\sqrt{6}}[/TEX]

[TEX]d=\dfrac{-2+9-12}{\sqrt{6}}[/TEX]

[TEX]d=\dfrac{-5}{\sqrt{6}}[/TEX]

Vom Punkt P einmal diese Strecke entlang des Normalenvektors führt uns auf die Ebene E. Die gleiche Strecke noch einmal bringt uns dann endlich zum gesuchten Punkt P'.

[TEX]\vec{P'}=\vec{P}+2\cdot d\cdot\vec{N_0}[/TEX]

[TEX]\vec{P'}=\begin{pmatrix}5\\9\\12\end{pmatrix}+2\cdot\dfrac{-5}{\sqrt{6}}\cdot\dfrac{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{6}}[/TEX]

[TEX]\vec{P'}=\begin{pmatrix}5\\9\\12\end{pmatrix}-\dfrac{5}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}[/TEX]

[TEX]\vec{P'}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}5\\32\\31\end{pmatrix}[/TEX]

Viele Grüße
Lord Nobs

P.S.

Ich habe diese Aufgabe mit SKETCHUP, einem 3D-Programm nachgebaut. Die Lösung sieht plausibel aus. SKETCHUP gibt es kostenlos.

Hallo,

diese schöne Aufgabe lässt mich nicht los.

Ich habe bei der b) oben den Punkt Q dadurch bestimmt, dass ich den Vektor von P nach Q bestimmt habe, der den kleinsten Betrag hat.
Rechnerisch einfacher ist es, den Vektor von P nach Q zu bestimmen, der auf der Geraden g senkrecht steht.

Wenn 2 Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Gesucht wird also der Wert für r, für den gilt

[TEX]\begin{pmatrix}3r-5\\2r-8\\-2r-7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}=0[/TEX]

Das führt auch zu [TEX]r=1[/TEX], aber mit weniger Rechenaufwand.

Viele Grüße
Lord Nobs