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Thema: Rechteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

  1. #1
    Gerrard
    Gast

    Standard Rechteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

    Die Gerade g: y = 6 schneidet von der Parabel x² = 16y ein Segment ab. In dieses Segment ist ein Rechteck so einzuschreiben, dass zwei seiner Eckpunkte auf g liegen. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird?

    Bitte um Hilfe!
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  2. #2
    Erfahrener Benutzer
    Registriert seit
    17.12.2007
    Ort
    Hamburg
    Beiträge
    216

    Standard

    Hallo,

    mach dir zunächst mal ne Skizze. und zeichne ein Rechteck gemäß Forderung ein, z. B. an der Stelle x=x0.
    a sei die Seite parallel zur x- Achse, b die Seite parallel zur Y-Achse.

    Nun überlege mal, wie die Seiten a und b als Funktionen von x0 berechnet werden können....

    a(x0) =2*xo (Da die Parabel ja symmetrisch ist)
    b(x0)= 6 - f(xo)= 6 - hoch2 /16 (kannst ja die Gleichung x hoch 2 = 16 y nach y auflösen also y= Xhoch2 / 16)

    Dann weißt du, dass die Fläche des Rechtecks gleich dem Produkt aus den Seitenlängen ist, also F(xo) = a(xo) * b(x0)

    Bisher hast du den Spezialfall x=x0 betrachtet.

    Nun verallgemeinerst du deine Überlegung nach x und musst die Seitenlängen a und b allgemein als Funktion von x ausdrücken.
    (also statt a(x0) nur noch a (x) schreiben...


    also hast du als Gleichung für die Fläche:

    Fläche (x) = a(x)*b(x)= 2*x * (6-xhoch2/16) =...

    Davon musst du nun die 1. und 2. Ableitung bilden
    1: Ableitung gleich Null heißt: Tangentenanstieg = Null (Extremwert oder Sattelpunkt)

    2. Ableitung negativ oder positiv (ungleich null) heißt: Maximum/ Minimum (kein Sattelpunkt)

    kleiner Null bedeutet Maximum
    größer Null bedeutet Minimum


    So, hoffe das hilft dir.

    Gruß Niko

  3. #3
    Gerrard
    Gast

    Standard

    Danke, hat mir sehr geholfen!

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