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Thema: Wasserparabel - Gleichung gesucht!

  1. #1
    hilfesuchender
    Gast

    Standard Wasserparabel - Gleichung gesucht!

    Hallo!
    Ich muss in der schule einen vortrag ueber die wasserparabel machen. doch dieser vortrag uebersteigt meine mathematischen kenntnisse, darum brauche ich dringend eure hilfe.
    wie kann man beweisen, dass wenn man eine mit wasser gefuellte kuevette in rotation versetzt, eine Parabel geformt wird. ich habe das ganze internet durchstoebert, doch nichts richtiges gefunden. kann mir da jemand helfen? meine grundkenntnisse sind nicht all zu hoch, also wenn ssie so gut waeren alles in kleinen Schritten, sodass ich alles nachvollziehen kann.

    Danke für eure Hilfe!
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  2. #2
    Erfahrener Benutzer
    Registriert seit
    10.03.2009
    Beiträge
    1.402

    Standard

    Es stellt sich ein Paraboloid ein (Querschnitt Parabel). Der Sage nach haben Physiker sich auf diese Weise aus Quecksilber Rasierspiegel gebaut.
    An der Oberfläche muß die resultierende Kraft auf die Flüssigkeitsteilchen (aus Gewicht und Zentrifugalkraft) senkrecht(!) zur Oberfläche sein - sonst kommt es zu einer Strömung.
    Der Winkel gegen die Ebene bzw. x - Achse
    tan alpha = F_rot / F_Gew = omega² x / g = dy / dx -> y(x) = omega² / 2g * x²

    mfG F

  3. #3
    auch ein Gast
    Gast

    Standard Denkansatz

    Ich kann noch keinen Beweis liefern aber einen Denkansatz.
    Ich befasse mich erst mit einem bekannten Beispiel, den Fall eines Gegenstandes.
    Was hat der Fall eines Gegenstandes mit dem Wasserproblem gemeinsam?
    Das möchte ich am Ende mit dir überlegen.

    Während der Schulzeit habe ich mir Gedanken gemacht, warum ein Stein, der fällt, misst man seinen Abstand von seinem Ausgangspunkt in gleichen Zeitabständen z.B. jede Sekunde, auf quadratische Art und Weise wächst (z.B. 1m, 4m, 9m etc. ~ oder wie wir aus dem Physikunterricht lernen [ohne es oft begriffen zu haben, denn würden wir die Formel begreifen, wäre diese Erklärung überflüssig]: s=1/2*a*t^2).
    Es hängt damit zusammen - wie man in der Schule lernt - dass eine konstante Kraft (die Schwerkraft) auf den Stein wirkt und zwar zu jedem Zeitpunkt, wo sich der Stein gerade befindet.

    Betrachten wir Punkt null, genau in dem Moment, wo der Stein fällt:
    Seine Geschwindigkeit ist null. Er ist null meter von seinem Ausgangspunkt entfernt. Aber genau in dem Moment wirkt die konstante Kraft (Schwerkraft g=9,81 Newton) auf ihn und zieht ihn nach unten.
    Eine winzigkeit später, wenn sich der Stein genau einen Punkt unterhalb seines Ausgangspunktes befindet (aufgrund der Schwerkraft, die im Ausgangspunkt auf ihn gewirkt hat, weshalb es ihn nach unten gezogen hat) ist seine Geschwindigkeit nicht mehr null, sondern das Resultat der Wirkung der Schwerkraft auf seine Masse im Ausgangspunkt). Der Stein wurde also im Augenblick, in dem er begann zu fallen, durch Wechselwirkung der Schwerkraft mit seiner Masse, "einmal" beschleunigt.
    Aber nun wirkt diegleiche Kraft mit dem gleichen Betrag auf ihn (den bereits beschleunigten stein). Im nächsten Punkt drunter ist er also schon in einem "zweimal" beschleunigten Zustand. Aber wieder wirkt die gleiche Kraft mit gleichem Betrag auf den "zweimal" beschleunigten Stein, so dass er einen Punkt drunter bereits "dreimal" beschleunigt ist usw.
    Die Geschwindigkeit des Steines steigt konstant an. Je weiter die Zeit voranschreitet, von Augenblick zu Augenblick, von Punkt zu Punkt wird er immer mit der gleichen Kraft um den gleichen Betrag beschleunigt.
    Daher wird seine Geschwindigkeit gleichmäßig höher, von Punkt zu Punkt, von Augenblick zu Augenblick. Die zurückgelegte Strecke aber wächst um eine Größenordnung höher, weil sie die Summe der unendlich vielen Teilstrecken mit jeweils wachsender Geschwindigkeit darstellt.
    Mathematisch drückt sich das als Integral der Geschwindigkeitsfunktion dar.

    Die konstante Wirkung der Beschleunigung bewirkt eine lineare Steigung der Geschwindigkeitsfunktion des Steines, und die Integration (Integral) der Geschwindigkeitsfunktion des Steines ergibt die quadratische (parabelförmige) Orstdunktion des Steines.

    Überall, wo konstante Kräfte additiv auf Gegenstände wirken ~
    oder letztlich, die additive Wirkweise von Kräften bewirkt letztlich die parabelförmige Eigenschaft von Ortsfunktionen.

    Bei einem rotierenden Gefäß wirkt die Zentripetalkraft auf die Wassermoleküle und zwar senkrecht auf die Gefäßwand zu. In der Mittelaches des Gefäßes ist die Geschwindigkeit der Wassermoleküle gleich null. Einen Punkt daneben sind die Wassermoleküle "einmal" beschleunigt mit der Zentripetalkraft (deren genauer betrag ist abhängig von der drehgeschwindigkeit). Noch einen imaginären Punkt weiter auf die senkrechte Gefäßwand zu ist das Wassermolekül dort schon "zweimal" beschleunigt mit der Zentripetalkraft usw.

    Deshalb addiert sich die Kraft immer weiter (man sagt auch "proportional" je weiter man von der Mitte weg auf die senkrechte Gefäßwand hinzuläuft.

    Nur, dass die Gefäßwand ein Hindernis für die Wassermoleküle darstellt.

    Der Wasserstand jedoch ist senkrecht zu dieser zentripetalkraft.
    In der senkrechten wirkt jedoch nach unten hin die Schwerkraft. Da die Wassermoleküle nur nach obenhin ausweichen können, arbeitet also die Zentripetalkraft auf irgendeine Weise gegen die Schwerkraft.

    Man könnte sich also vorstellen, in der Mitte des Gefäßes ist die Zentripetalkraft null. Nur die Schwerkraft wirkt auf die Teilchen. Also ist das der tiefste Punkt der Wasseroberfläche. Von diesem Punkt aus steigt der Druck im Wasser (Kraft durch Fläche) linear zum Gefäßwand hin. Die Wirkung des Druckes, die sich als Steighöhe des Wassers äußert muss ich also (ähnlich wie die Ortsfunktion des Steines) quadratisch verhalten.

    Aber das ist noch lange kein mathematischer Beweis. (Und auch kein physikalischer). Nur erst einmal ein grober intuitiver Annäherungsversuch an dieses Problem. Mit dem Augenmerk auf "additive Wirkung der Kraft" und "Integralbildung einer konstanten Kraft und deren Integration"...

    In die Richtung müsste man denken, glaube ich.

  4. #4
    Gast

    Standard

    vielen dank

    doch i habe noch eine Frage an Franz.
    Ich kann nicht ganz nchvollziehen was dy / dx heisst? und was ist omega?
    Eigentlich das Hauptproblem ist dass ich nicht von der Formel F_rot / F_Gew = omega² x / g auf die Funktion komme.

    mfg

  5. #5
    Erfahrener Benutzer
    Registriert seit
    10.03.2009
    Beiträge
    1.402

    Standard



    Einen Nachweis zur Parabelform des Querschnitts ohne Ableitung weiß ich leider nicht.

    mfG F.

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