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Thema: Höhe in einem dreieck berechnen

  1. #1
    SAAARRAAH
    Gast

    Standard Höhe in einem dreieck berechnen

    Hallooo.
    Also ich hab in Mathe diese aufgabe :

    Finde eine Formel mit der man die Höhe IMMER berechnen kann.

    bei google + anderen foren hab ich mir schon was durchgelesen, ich fnde aber nur die formel "h²=p * q "
    und die ist ja nur für rechtwinklige dreiecke oder?
    weil bei mir klappt diese formel nicht bei jedem .. wäre nett.
    Achtung: Dies ist ein alter Thread im Hausaufgaben Forum
    Diese Diskussion ist älter als 90 Tage. Die darin enthaltenen Informationen oder Fragen sind möglicherweise nicht mehr aktuell. Erstelle bitte zu deiner Frage ein neues Thema im Hausaufgaben Forum !!!!!

  2. #2
    Dörrby
    Gast

    Standard

    Du hast Glück: Das habe ich irgendwann mal selber untersucht und es gibt tatsächlich eine "elementare" Lösung, d.h. ohne sin, cos usw.

    Du hast Pech: Die Herleitung ist saumäßig kompliziert und lang, deswegen schreibe ich nur Zwischenschritte auf, den Rest musst du selber rechnen. Für die Höhe auf c sieht sie so aus, bei den anderen entsprechend vertauscht.

    Die Teilstrecke von c unter a nenne ich pa und die Teilstrecke unter b nenne ich pb. Dann ergeben sich die Gleichungen
    b^2 = pb^2 + h^2 und a^2 = pa^2 + h^2 , denn die Höhe ist ja immer senkrecht.
    Aus der ersten Gleichung ergibt sich pb = Wurzel(b^2 - h^2)
    Aus der zwiten Gleichung ergibt sich h^2 = a^2 - (c-pb)^2 , denn pa = c-pb
    Dann setzt du die erste Gleichung in die zweite ein, löst das Quadrat (bin. Formel) und die Klammer auf und dann fällt das h^2 weg, aber in der Wurzel steht es noch, so dass du die Gleichung
    -2c*Wurzel(b^2-h^2) = a^2-c^2-b^2 jetzt nach h^2 auflösen musst. Dann kommt da
    h^2 = - ((c^2+b^2-a^2)/2c)^2 + b^2 raus
    Jetzt kann man das Quadrat noch auflösen und die ganzen Terme über mehrere Schritte anders zusammenfassen und dann kriegst du (vielleicht) raus:
    h^2 = (a*b/c)^2 – ( (c^2-(a^2+b^2)) / 2c ) ,
    wobei der hintere Teil beim rechtwinkligen Dreieck wegfällt, weil dann c^2-(a^2+b^2) = 0 ist.
    Das heißt übrigens, dass man auch im rechtwinkligen Dreieck nicht unbedingt p und q für die Höhe braucht, denn aus der Flächenberechnung
    A = a*b/2 = c*hc/2 (mit c = Hypothenuse) ergibt sich
    hc = a*b/c

    Gruß Dörrby

  3. #3
    Erfahrener Benutzer
    Registriert seit
    10.03.2009
    Beiträge
    1.402

    Standard

    Falls(!) es um die Berechnung einer Höhe (z.B. hc) aus den gegebenen Dreiecksseiten geht: Kosinussatz: cos alpha = (b² + c² - a²) : 2bc = c1 : b und hc² = b² - c1² -> hc² = b² - (b² + c² - a²) : (2c)².

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