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Das kleine Hilfe-1x1

Lösen von linearen Gleichungssystemen

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Bei linearen Gleichungssystemen hat man mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten gegeben. Hat man mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte, ist das Gleichungssystem lösbar.

Zum Lösen solcher Gleichungssysteme gibt es verschiedene Verfahren/Methoden:
  1. Einsetzungsverfahren
  2. Additionsverfahren
  3. Gleichsetzungsverfahren
Welches Verfahren man verwendet, liegt im eigenen Ermessen. Man sollte sich das für einen selber einfachste und schnellste aussuchen.


1. Einsetzungsverfahren

Bei diesem Verfahren löst man eine Gleichung nach einer beliebigen Variable auf und setzt das Ergebnis in alle anderen Gleichungen ein. Dies wiederholt man sooft, bis man eine Unbekannte ausgerechnet hat. Anschließend kann man rückwärts auch alle anderen Unbekannten errechnen.

Beispiel:

1) 3a + 2b - c = 1
2) 2a - 2b + 4c = -2
3) -a + 0.5b - c = 0

1 nach c) c = 3a + 2b - 1

In 2 und 3 für c einsetzen:
2) 2a - 2b + 4 * (3a + 2b - 1) = -2
3) -a + 0.5b - (3a + 2b - 1) = 0

2) 14a + 6b = 2
3) -4a - 1.5b + 1 = 0

3 nach b)
b = - 8/3 a + 2/3

b in 2 einsetzen:
14a + 6 * (-8/3 a + 2/3) = 2
14a - 16a + 4 = 2
a = 1

Nun kann man b ausrechnen:
b = - 8/3 a + 2/3
b = - 8/3 * 1 + 2/3
b = -2

Und c:
c = 3a + 2b - 1
c = 3 * 1 + 2 * (-2) - 1
c = -2


2. Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich für Gleichungssysteme mit nur zwei Unbekannten. Beide Gleichungen werden nach der gleichen Unbekannten aufgelöst und schließlich beide Gleichungen gleichgesetzt. Man erhält dadurch eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, welche sich nun ausrechnen lässt.
Die zweite Unbekannte lässt sich dann wieder mithilfe der ersten errechnen.

Beispiel:

1) -x + y = -13
2) 4x - 2y = 34

Beide nach y auflösen:
1) y = x - 13
2) y = 2x - 17

Jetzt beide gleichsetzen:
x - 13 = 2x - 17
x = 4

Und y berechnen:
y = x - 13 = 4 - 13 = -9


3. Additionsverfahren

Für das Additionsverfahren braucht man in beiden Gleichungen eine Unbekannte mit gleichem Koeffizientenbetrag. Ist dies nicht der Fall, kann man vielleicht durch Multiplizieren der Gleichung gleiche Koeffizienten schaffen...
Für solche, die beim Rechnen nicht zuviel denken wollen, ist diese Methode wohl nur bedingt geeignet

1) -x + y = -13
2) 4x - 2y = 34

1 mit 2 multiplizieren:
1) -2x + 2y = -26
2) 4x - 2y = 34

Jetzt beide Gleichungen addieren:
(-2x + 4x) + (2y - 2y) = (-26 + 34)
2x = 8
x = 4

x nun in 1 einsetzen:
-4 + y = -13
y = -9


Überprüfen von Ergebnissen

Ist man sich nicht sicher, ob man richtig gerechnet hat, kann man z.B. die folgende sehr nützliche Suchmaschine verwenden:
http://www.wolframalpha.com

Hier kann man sein Gleichungssystem eingeben und erhält die Lösungen und einige Infos mehr.
Dabei ist zu beachten, dass die Suchmaschine nur Englisch versteht und Kommas in Dezimalzahlen als Punkte geschrieben werden müssen.

Beispiel:
"-x + y = -13 and 4x - 2y = 34":
http://www.wolframalpha.com/input/?i...4x+-+2y+%3D+34

P.S.: WolframAlpha kann auch Integrieren, Differenzieren und vieles mehr...
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Kommentare

  1. Avatar von DummAberFleißig
    Dankeschön für die gute Erklärung und das Zusammenfassen
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