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Das kleine Hilfe-1x1

Kurvendiskussion

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Dieser Eintrag soll die Grundlagen einer Kurvendiskussion darlegen. Ich beschränke mich hierbei auf stetige Funktionen.

Zunächst einmal brauchen wir dafür eine Funktion. Folgende soll als Beispiel in diesem Eintrag dienen:



1. Definitions- und Wertemenge
Als erstes wollen wir die Definitions- und Wertemenge bestimmen. Die Definitionsmenge gibt die x-Werte an, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Nicht dürfen z.B. x-Werte eingesetzt werden, die einen Nenner null werden lassen oder einen negativen Wert unter einer Wurzel erzeugen.
Die Wertemenge dagegen ist die Menge aller y-Werte, die sich durch die eingesetzen x-Werte ergeben.
In unserem Beispiel dürfen wir aus der Menge der reellen Zahlen einsetzen.



Wie wir auch im nächsten Schritt bei den Grenzwerten sehen werden, bekommen wir mit dieser Definitionsmenge, eine Wertemenge, die ebenfalls alle reellen Zahlen beinhaltet.



2. Grenzwerte
Die Grenzwerte geben an, wohin eine Funktion an den Rändern ihrer Definitionsmenge strebt. In unserem Fall sind das lediglich und . Wäre die Funktion z.B. bei x = 1 nicht definiert, so müssten wir auch hier die Grenzwerte berechnen.

Wir aber müssen nur die beiden Ränder überprüfen:



3. Nullstellen
Als Nullstellen werden die Stellen der Funktion bezeichnet, bei denen gilt: (=Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse)

Folglich bekommen wir die Nullstellen, indem wir die Funktion gleich Null setzen:



und

Die Nullstellen sind also bei x = 0 und x = 3. Ist nach den Schnittpunkten mit der x-Achse gefragt müssen diese auch als Punkte angegeben werden! Schnittpunkte: (0|0) und (3|0)

4. Schnittpunkt mit der y-Achse
Wenn der Graph die y-Achse schneidet, ist x = 0. Jede Funktion kann die y-Achse nur maximal einmal schneiden. Um diesen Schnittpunkt zu berechnen, setzen wir einfach x = 0 in den Funktionsterm ein.



Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also bei (0|0).

5. Extremwerte
Die Extremwerte sind die Stellen der Funktion, an denen die Funktion einen maximalen bzw. minimalen y-Wert annimmt. Um diese Stellen zu berechnen, wird die 1. Ableitung benötigt. Die 1. Ableitung gibt die Steigung des Graphen an jeder Stelle x an. Bei Extrempunkten ist die Steigung null.



Um die Extremwerte zu bekommen, setzen wir diese 1. Ableitung nun gleich Null:



und

Bei den berechneten x-Werten ist die Steigung des Graphen also Null. Das beweist aber noch nicht, dass dort auch Extrempunkte liegen. Genauso gut könnten es nämlich Terrassenpunkte sein. Auch wissen wir noch nicht, ob wir hier Maxima oder Minima haben. Um diese Fragen zu klären, brauchen wir die 2. Ableitung.



Die 2. Ableitung gibt das Krümmungsverhalten an. Ist die 2. Ableitung an einer Stelle x positiv, "krümmt sich der Graph an dieser Stelle zunehmend ins Positive": hier ist ein Minimum. Ist sie dagegen negativ, haben wir an der Stelle x ein Maximum. Ist die 2. Ableitung an einer Stelle x null, so ändert sich die Steigung dort nicht: Terrassenpunkt oder Flachpunkt.

In unserem Beispiel müssen wir nun überprüfen, wie die Ableitung an unseren Stellen und sind - positiv, negativ oder null:

-6 < 0, also ist bei x = -6 ein Maximum.


2 > 0, also ist hier ein Minimum.

Käme hier beim Einsetzen Null raus, müssten wir noch die dritte Ableitung bilden:



Hier würden wir dann wieder den x-Wert des Punktes einsetzen, den wir als möglichen Extrempunkt berechnet haben. Kommt wieder eine Null raus, ist hier ein Flachpunkt, kommt etwas anderes als Null raus, ist hier ein Terrassenpunkt.

6. Wendpunkte
Als Wendepunkte bezeichnet man die Stellen des Graphen, an denen sich die Krümmung ändert (von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt und umgekehrt). Ändert sich die Krümmung, so ist genau dort, wo es von links- nach rechtsgekrümmt bzw. umgekehrt übergeht, die Krümmung null. Also setzen wir hier die 2. Ableitung gleich Null:





Bei x = 1 ändert sich also das Krümmungsverhalten. Um herauszufinden, in welche Richtung sich die Krümmung ändert, setzen wir den x-Wert in die 3. Ableitung ein:

f'''(1) = 6

Die Krümmungsänderung (=3. Ableitung) ist positiv, d.h. die Krümmung ändert sich von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt. Wäre hier etwas negatives rausgekommen, wäre es genau umgekehrt.

7. Symmetrie
Wenn man von Symmetrie spricht, meint man meist nur die Achsensymmetrie des Graphen zur y-Achse oder die Punktesymmetrie zum Ursprung. Diese Symmetrien lassen sich sehr leicht überprüfen, indem man einfach f(-x) berechnet:




Liegt eine Symmetrie vor, gilt eine von den beiden folgenden Gleichungen:

Achsensymmetrisch zur y-Achse ist der Graph einer Funktion genau dann, wenn gilt:


Punktsymmetrisch zum Ursprung ist der Graph einer Funktion genau dann, wenn gilt:


In unserem Beispiel trifft keine der beiden Aussagen zu, weswegen hier keine Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung vorliegt.

8. Graphen zeichnen
Mithilfe der bereits berechneten Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte), den Grenzwerten und den Angaben zur Symmetrie lässt sich der Graph recht einfach zeichnen:
Klicken Sie auf die Grafik für eine größere Ansicht 

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Kommentare

  1. Avatar von Tamahawk
    Das ist echt toll geworden, die Erklärung

    Ich frag ja eigentlich nur ungern aber kannst du noch so eine Art erweiterte Version davon machen für gebrochenrationale Funktionen? Ich weiß dass die ziemlich auf den Geist gehen und man mit so einer einzigen Aufgabe ganze Matherbücher füllen kann, aber das wäre echt nett von dir =/

    Aber wie auch immer, das hier ist auch schon cool :>
  2. Avatar von nif7
    @Tamahawk: Wenn du so nett fragst
    http://www.hausaufgaben-forum.net/en...nalen-Funktion
  3. Avatar von Referate
    Klasse Erklärung. Danke!! Hat mir sehr geholfen
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