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Das kleine Hilfe-1x1

Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion

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Auf besonderen Wunsch werde ich in diesem Eintrag eine Kurvendiskussion am Beispiel einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.
Dieser Blogeintrag ist eine Erweiterung von http://www.hausaufgaben-forum.net/en...rvendiskussion und sollte deshalb auch im Zusammenhang mit diesem konsumiert werden, da ich mich hier auf die Besonderheiten gebrochen-rationaler Funktionen konzentrieren will.

Als Beispiel soll im Folgenden diese Funktion dienen:



1. Definitions- und Wertemenge
Neben den "normalen" problematischen Werten für x und y ist bei gebrochen-rationalen Funktionen besonders darauf zu achten, dass der Nenner nicht null wird.
Um die entsprechenden x-Werte zu bekommen, bei denen die Funktion dann nicht definiert ist, setzt man einfach den Nenner gleich Null:







Da in der Beispielaufgabe keine weiteren Besonderheiten zu beachten sind (wie z.B. eine negative Zahl unter einer Wurzel oder problematische Tangens-/Sinus-/Cosinus-Werte) lautet hier die Definitions- und Wertemenge:





2. Grenzwerte
Die Grenzwerte einer gebrochen-rationalen Funktion gegen lassen sich mit folgenden Regeln bestimmen:
  1. Hat das Zählerpolynom einen höheren Grad als das Nennerpolynom, so strebt die Funktion gegen .
  2. Hat das Nennerpolynom einen höheren Grad als das Zählerpolynom strebt die Funktion gegen Null
  3. Haben Zähler- und Nennerpolynom den gleichen Grad, so strebt die Funktion gegen den Bruch:

Bei der Grenzwertbestimmung ist immer auch noch auf die Vorzeichen von Zähler und Nenner zu achten (zusätzlich zu den Regeln)!

In unserem Beispiel hat das Zählerpolynom () den Grad 1, das Nennerpolynom () den Grad 2. Es kommt also Regel 2 zum Einsatz und es gilt:



Bitte nicht vergessen, alle Grenzwerte berechnen, müssen also auch die Grenzen prüfen:





Da hier der Nenner für den Grenzwert entscheidened ist und in diesem das x nur quadriert vorkommt, spielt das Vorzeichen beim Grenzwert keine große Rolle. Wäre der Nenner ein anderer, müsste man die Grenzwerte gegen 1 und gegen -1 separat bestimmen.

3. Nullstellen
Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion können recht einfach bestimmt werden, da die Funktion nur dann Null werden kann, wenn der Zähler Null ist. Somit reicht es, den Zähler auf Nullstellen zu überprüfen und diese für die gesamte Funktion zu verwenden.

Achtung: Wenn eine berechnete Nullstelle nicht in der Definitionsmenge ist (weil z.B. der Nenner damit Null wird), ist diese auch keine Nullstelle der Funktion!

Setzen wir also den Zähler gleich Null und erhalten damit auch gleich die Nullstelle:


4. Schnittpunkt mit der y-Achse
Die Schnittpunkte werden ganz "normal" berechnet (x = 0)...



Einziger Schnittpunkt ist also bei (0|0).

5. Extremwerte
Auch bei der Extremwertberechnung sollten keine zusätzlichen Probleme auftauchen, sofern man die Ableitung eines Bruches nicht als Problem ansieht (Quotientenregel)...









1. Ableitung gleich Null setzen:






Dieser Ausdruck lässt sich mit Reellen Zahlen nicht lösen. Diese Funktion besitzt keine Extrempunkte.

6. Wendpunkte
Und weil es so schön war, dürfen wir gleich nochmal ableiten:


















Die 2. Ableitung gleich Null setzen:








Wir haben also anscheinend einen Wendepunkt bei (0|0).

Theoretisch könnte man jetzt noch die Art der Krümmung feststellen (3. Ableitung), worauf ich hier aber verzichten möchte.

7. Symmetrie
Symmetrien zur y-Achse oder zum Ursprung?



Somit ist diese Funktion zum Ursprung symmetrisch.

8. Graphen zeichnen
Mithilfe der bereits berechneten Eigenschaften, können wir die Funktion jetzt zeichnen:
Klicken Sie auf die Grafik für eine größere Ansicht 

Name:	wa_gebrochen_rationale_fkt.gif 
Hits:	116 
Größe:	9,5 KB 
ID:	127


Ich hoffe, dieser Eintrag hilft dem ein oder anderen beim Meistern seiner Aufgaben
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Kommentare

  1. Avatar von Tamahawk
    *quiek* =D Dankeschön viel mals :>
  2. Avatar von Planck1858
    Finde ich sehr gut!
  3. Avatar von Olivius
    Sehr sorgfältig ausgearbeitet! Kann mit Sicherheit als Vorlage für Kurvendiskussionen gebr.-rat. Funktionen dienen, allerdings fehlt ein wesentlicher Aspekt: Die Berechnung von Asymptoten
    Es wäre wünschenswert, wenn dieser Punkt noch angefügt werden könnte.
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